[論文レビュー] Quasi-optimal nonconforming methods for symmetric elliptic problems. III -- DG and other interior penalty methods

Andreas Veeser, Pietro Zanotti|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、計算的に実行可能な $H^1_0$-スムージング作用素を用いて右辺離散化を変更することにより、対称楕円型問題に対する準最適で非適合な有限要素法を導入する。新しい変種は、形状正則メッシュにおいて一様に有界な準最適性定数を達成し、ペナルティパラメータが増加するにつれて1に近づくため、標準的な内部ペナルティ法よりも安定性と一貫性が向上する。

ABSTRACT

We devise new variants of the following nonconforming finite element methods: DG methods of fixed arbitrary order for the Poisson problem, the Crouzeix-Raviart interior penalty method for linear elasticity, and the quadratic $C^0$ interior penalty method for the biharmonic problem. Each variant differs from the original method only in the discretization of the right-hand side. Before applying the load functional, a linear operator transforms nonconforming discrete test functions into conforming functions such that stability and consistency are improved. The new variants are thus quasi-optimal with respect to an extension of the energy norm. Furthermore, their quasi-optimality constants are uniformly bounded for shape regular meshes and tend to $1$ as the penalty parameter increases.

研究の動機と目的

• 対称楕円型問題に対する標準的な対称内部ペナルティ（SIP）法やその他の非適合法における完全な安定性と準最適性の欠如に対処すること。
• スムージング作用素を介して右辺離散化を変更することにより、不連続ガラーキン法および $C^0$ 内部ペナルティ法の一致性と安定性を向上させること。
• 非適合離散空間に対しても、拡張されたエネルギーノルムに関して準最適性が保証されるようにすること。
• 面平均を保存し、一貫性を向上させる計算的に実行可能な $H^1_0$-スムージング作用素を構築すること。
• 形状正則メッシュ全体で一様に有界な準最適性定数を達成し、ペナルティパラメータが増加するにつれて定数が1に近づくようにすること。

提案手法

• 不連続な区分的線形関数から $H^1_0$ 関数への写像を保証し、面平均を保存する新しいスムージング作用素 $E: S^{0}_1 \to H^1_0(\Omega)$ を導入する。
• 離散変分形式において $\int_\Omega f\sigma$ を $\langle f, E\sigma \rangle$ に置き換えることで、一貫性と安定性を向上させる。
• HCT型の平均化作用素と高次バブル関数を用いてスムージング作用素 $E$ を構築し、メッシュの形状正則性に応じた有界な作用素ノルムを保証する。
• 二階法線微分のジャンプとペナルティ項を用いて、双曲型問題に対する新しい双線形形式 $b_{\mathrm{BS}}$ を定義し、強制的かつ対称性を保証する。
• 先行研究から得られた抽象的準最適性理論を応用し、拡張されたエネルギーノルム $|\cdot|_{1;\eta}$ または $|\cdot|_{2;\eta}$ における収束バウンドを確立する。
• 準最適性定数が $\sqrt{1 + C_{\gamma_{\mathcal{M}}} \big(\alpha(\eta_* / \eta) \eta\big)^{-1}}$ で有界であることを証明し、$\eta \to \infty$ のとき1に近づくことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称楕円型問題に対する標準的な内部ペナルティ法は、右辺離散化を変更することで準最適化可能か？
• RQ2 計算的実行可能性を損なわずに、非適合法の一貫性と安定性を向上させるスムージング作用素はどのように構築できるか？
• RQ3 準最適性定数はペナルティパラメータおよびメッシュの形状正則性にどのように依存するか？
• RQ4 提案されたフレームワークは、$C^0$ 内部ペナルティ法を用いた双曲型問題に対する高次法に拡張可能か？
• RQ5 修正された手法は、誤差推定において補完項を必要とせずに最適収束率を達成するか？

主な発見

• 双曲型問題に対する提案手法 $M_{\mathrm{C0}}$ は、定数が $\sqrt{1 + C_{\gamma_{\mathcal{M}}} \big(\alpha(\eta_* / \eta) \eta\big)^{-1}}$ で有界な $|\cdot|_{2;\eta}$-準最適性を達成する。
• ペナルティパラメータ $\eta$ が増加するにつれて準最適性定数は1に近づき、条件数の改善と収束挙動の向上を示す。
• スムージング作用素 $E_{\mathrm{C0}}$ は計算的に実行可能であり、内部面上で $\left\{\!\!\left\{ \nabla E_{\mathrm{C0}}\sigma \right\}\!\!\right\} = 0$ を満たし、一貫性を保持する。
• 一般に $H^1_0$ 解において有界でない補完項 $\mathrm{AG}(u-s)$ を必要とせず、最適収束率を達成する。
• シリーズの第1部で得られた抽象的理論が、メッシュ正則性およびペナルティパラメータに関する弱い仮定の下で、準最適性の証明に成功して適用された。
• 高次スムージング作用素を構築することにより、$p \geq 3$ の $C^0$ 内部ペナルティ法など、高次法への拡張が可能である。