[論文レビュー] Quasi-periodic solutions of forced Kirchoff equation

Riccardo Montalto|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2016

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1次元強制キルヒホッフ方程式の周期的境界条件における小振幅準周期的解の存在および線形安定性を、ソボレフ空間における新規なナッシュ＝モーザー型スキームを用いて確立する。主な革新は、微分同相写像、擬微分作用素、およびKAM還元スキームを用いて線形化作用素を2×2のブロック対角形式に変換することにあり、非線形性に最高次の微分が含まれる非線形性と二重共振の課題を克服する。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence and the stability of small-amplitude quasi-periodic solutions with Sobolev regularity, for the 1-dimensional forced Kirchoff equation with periodic boundary conditions. This is the first KAM result for a quasi-linear wave-type equation. The main difficulties are: $(i)$ the presence of the highest order derivative in the nonlinearity which does not allow to apply the classical KAM scheme, $(ii)$ the presence of double resonances, due to the double multiplicity of the eigenvalues of $- \partial_{xx}$. The proof is based on a Nash-Moser scheme in Sobolev class. The main point concerns the invertibility of the linearized operator at any approximate solution and the proof of tame estimates for its inverse in high Sobolev norm. To this aim, we conjugate the linearized operator to a $2 imes 2$, time independent, block-diagonal operator. This is achieved by using {\it changes of variables} induced by diffeomorphisms of the torus, {\it pseudo-differential} operators and a KAM {\it reducibility} scheme in Sobolev class.

研究の動機と目的

• 1次元強制キルヒホッフ方程式の周期的境界条件に対して、ソボレフ正則性を有する小振幅準周期的解の存在を証明すること。
• これらの解がソボレフ空間内での線形安定性を確立すること。
• 非線形性に最高次の微分が含まれる非線形性（準線形性）と、ラプラシアンの固有値の重複に起因する二重共振という二重の課題に直面した場合の対処法。
• 準線形PDEに特化した、線形化作用素の逆作用素に対するテーム推定を満たす新しいナッシュ＝モーザー型スキームの開発。

提案手法

• ソボレフ空間におけるナッシュ＝モーザー反復スキームを用い、線形化作用素の逆作用素に対するテーム推定を満たすことで、準周期的解を構成する。
• トーラス上の微分同相写像と擬微分作用素を用いて、線形化作用素を時間に依存しない2×2ブロック対角形式に変換する。
• ソボレフ空間内でのKAM還元スキームを実装し、線形化作用素を反復的に簡約して、逆作用素が取りうる形式に近づける。
• シンプレクティックな対称化と複素変数変換を用いて、方程式における最高次の項の構造を単純化する。
• 降下法を適用して線形化作用素を正則化し、反復過程におけるノルムの増大を制御する。
• 線形作用素のブロック減衰ノルムを活用し、反復手続きにおける誤差項の大きさと減衰を定量的に評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性に最高次の微分が含まれるにもかかわらず、1次元強制キルヒホッフ方程式に対して、ソボレフ正則性を有する準周期的解が存在しうるか？
• RQ2 ラプラシアンの固有値の二重重複に起因する二重共振構造を、KAM枠組み内でどのように扱えるか？
• RQ3 古典的KAM手法が準線形性のため失敗する状況下でも、近似解における線形化作用素をソボレフ空間内で逆写像可能か？
• RQ4 スペクトル解析とエネルギー推定を通じて、構築された準周期的解の線形安定性を保証できるか？

主な発見

• 本稿は、強制パラメータ$\delta$が小さく、周波数$\omega$がレベーグ測度として漸近的に全測度を持つカントール型集合をとる場合に、1次元強制キルヒホッフ方程式に対して、ソボレフ正則性を有する準周期的解の存在を証明する。
• 線形化作用素をブロック対角形式に変換した後、エネルギー推定を用いて解の線形安定性が示される。
• 線形化作用素の逆作用素は、高次のソボレフノルムにおいてテーム推定を満たしており、ナッシュ＝モーザー反復の収束に不可欠である。
• 微分同相写像、擬微分作用素、およびKAM型反復の組み合わせにより、2×2ブロック対角作用素への還元が達成され、小さな分母の制御が可能になる。
• 本手法は、二重共振の障害および準線形設定における古典的KAM還元可能性の欠如を効果的に克服する。
• 解は、構成法およびゼロ平均関数空間の使用により、時間的および空間的平均がゼロであることが保証される。