[論文レビュー] Quasi-radial nodal solutions for the Lane-Emden problem in the ball

Francesca Gladiali, Isabella Ianni|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℝ²における単位球体内のLane-Emden問題に対して、境界に接しない有限個の非交差単純閉曲線からなるノード集合を有する非径対称で準径対称な符号変化解の存在を確立する。非径対称分岐と大規模pにおける漸近解析を用いて、このような解が存在し、対称性の破れを示す。特定のp値において、対称解が非径対称になる。

ABSTRACT

We consider the semilinear elliptic problem \begin{equation}\label{problemAbstract} \left\{\begin{array}{lr}-Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }B\\ u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial B \end{array} ight. ag{$\mathcal E_p$} \end{equation} where $B$ is the unit ball of $\mathbb R^2$ centered at the origin and $p\in (1,+\infty)$. We prove the existence of non-radial sign-changing solutions to \eqref{problemAbstract} which are \emph{quasi-radial}, namely solutions whose nodal line is the union of a finite number of disjoint simple closed curves, which are the boundary of nested domains contained in $B$. In particular the nodal line of these solutions doesn't touch $\partial B$. \\ The result is obtained with two different approaches: via nonradial bifurcation from the least energy sign-changing radial solution $u_p$ of \eqref{problemAbstract} at certain values of $p$ and by investigating the qualitative properties, for $p$ large, of the least energy nodal solutions in spaces of functions invariant by the action of the dihedral group generated by the reflection with respect to the $x$-axis and the rotation about the origin of angle $\frac{2π}{k}$ for suitable integers $k$.\\ We also prove that for certain integers $k$ the least energy nodal solutions in these spaces of symmetric functions are instead radial, showing in particular a breaking of symmetry phenomenon in dependence on the exponent $p$.

研究の動機と目的

• 単位球体内のLane-Emden問題に対して、境界に接しないノード線が互いに非交差する単純閉曲線からなる有限個の非径対称で準径対称な符号変化解の存在を確立すること。
• 特に、指数pに応じて対称解が非径対称に変わるかどうかを検討する、二面体群対称性制約下での最小エネルギーノード解における対称性の破れ現象の解明。
• 径対称ノード解とグローバル最小エネルギーノード解のモース指数およびエネルギー準位を比較し、径対称解がエネルギーを最小化しないことを示すこと。
• p → ∞における解の漸近的挙動を、爆発技法とラプラシアンの固有関数への収束を用いて分析すること。

提案手法

• 特定のp値において、最小エネルギー径対称ノード解u_pからの非径対称分岐理論を用いて、非径対称で準径対称な解を構成する。
• p → ∞における正規化された解の極限挙動を、スケーリングを施して解析し、C(𝐵̄)上で第二径対称固有関数φ₂,radの定数倍に収束することを用いる。
• 恒等式 e^x - 1 = x ∫₀¹ e^{sx} ds を用いて、非線形項 |u|^{p-1}u を経路積分形式に展開し、解のプロファイルにおける漸近解析を可能にする。
• 回転2π/kおよびx軸に関する反射に関して不変な関数からなる対称部分空間H₀¹,ₖ(B)における変分法を用い、対称ノード解u_p^kを研究する。
• 弱形式における積分と極限操作による背理法を用い、極限関数がφ₂,radの定数倍であると同時に導出された積分恒等式を満たすためにはC=0でなければならないことを示すが、これは正規化に反する。
• 最小エネルギーノード解𝔀_pがfoliated Schwarz対称であり、ノード集合が境界に接しているのに対し、本稿で構成された準径対称解のノード線は境界を厳密に内側に保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位球体内のLane-Emden問題に対して、境界に接しない有限個の非交差単純閉曲線からなるノード集合を有する非径対称な符号変化解は存在するか？
• RQ2 径対称最小エネルギーノード解u_pからの非径対称分岐は、特定のp値において準径対称解を生成できるか？
• RQ3 pが変化するに従い、H₀¹,ₖ(B)における最小エネルギーノード解の対称性が破れるか。特に、あるkおよびpに対してu_p^kが非径対称になるか？
• RQ4 径対称ノード解のモース指数はグローバル最小エネルギーノード解のそれと比べてどうか。これはエネルギー最小化性にどのような含意を持つか？
• RQ5 p → ∞における対称部分空間における最小エネルギーノード解の漸近的挙動は何か。また、それらはラプラシアンの固有関数に収束するか？

主な発見

• 単位球体内のLane-Emden問題に対して、ノード集合がBの内部に存在する有限個の非交差単純閉曲線からなる非径対称で準径対称なノード解が存在する。
• 最小エネルギーノード解𝔀_pは径対称でない。これは、モース指数m(𝔀_p) = 2が径対称解u_pのm(u_p) ≥ 4より小さいことから確認される。
• 大規模pにおいて、対称空間H₀¹,ₖ(B)内の最小エネルギーノード解はC(𝐵̄)上で第二径対称固有関数φ₂,radの定数倍に収束する。この収束性を用いて、u_p^kが径対称であると仮定した場合に背理が導かれる。
• 対称性の破れが発生する：特定の整数kおよびpに対して、H₀¹,ₖ(B)内の最小エネルギーノード解は非径対称であるが、これは二面体群作用に関して不変である。
• グローバル最小エネルギーノード解𝔀_pのノード集合は境界∂Bに接しているが、本稿で構成された準径対称解とは対照的に、ノード線は境界を内側に厳密に保つ。
• pが1に近いとき、H₀¹,₂(B)内の最小エネルギー解は準径対称でない。これは、退化固有値λ₄ = λ₅に付随する固有関数に収束するためであり、これは準径対称でない。