[論文レビュー] Quasi-stationary distributions of multi-dimensional diffusion processes

Alexandru Hening, Weiwei Qi+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2021

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限時間にほぼ確実に吸収する多次元拡散過程に対して、準定常分布（QSD）の存在、一意性、および指数的収束を確立する。Fokker-Planck生成子から導かれる特異的で一様楕円型の作用素を分析することにより、コンパクトに台を持つ初期分布に対して鋭い指数的収束を証明し、より強いライアプノフ条件のもとで、すべての初期分布に対して一意性と指数的収束を示す。これは、既存の1次元結果を一般化し、特異係数へのスペクトル理論の拡張を実現する。

ABSTRACT

The present paper is devoted to the investigation of the long term behavior of a class of singular multi-dimensional diffusion processes that get absorbed in finite time with probability one. Our focus is on the analysis of quasi-stationary distributions (QSDs), which describe the long term behavior of the system conditioned on not being absorbed. Under natural Lyapunov conditions, we construct a QSD and prove the sharp exponential convergence to this QSD for compactly supported initial distributions. Under stronger Lyapunov conditions ensuring that the diffusion process comes down from infinity, we show the uniqueness of a QSD and the exponential convergence to the QSD for all initial distributions. Our results can be seen as the multi-dimensional generalization of Cattiaux et al (Ann. Prob. 2009) as well as the complement to Hening and Nguyen (Ann. Appl. Prob. 2018) which looks at the long term behavior of multi-dimensional diffusions that can only become extinct asymptotically. The centerpiece of our approach concerns a uniformly elliptic operator that we relate to the generator, or the Fokker-Planck operator, associated to the diffusion process. This operator only has singular coefficients in its zeroth-order terms and can be handled more easily than the generator. For this operator, we establish the discreteness of its spectrum, its principal spectral theory, the stochastic representation of the semigroup generated by it, and the global regularity for the associated parabolic equation. We show how our results can be applied to most ecological models, among which cooperative, competitive, and predator-prey Lotka-Volterra systems.

研究の動機と目的

• 有限時間にほぼ確実に吸収する多次元拡散過程の長期的挙動を分析すること。
• このような過程に対する準定常分布（QSD）の存在と一意性を確立すること。
• コンパクトに台を持つ初期分布に対して、QSDへの鋭い指数的収束を証明すること。
• 特異係数をもつ一様楕円型作用素のクラスへのスペクトル理論を拡張すること。
• 結果を、競争的・協同的・捕食者・被捕食者型のロトカ＝ヴォルテラ系を含む生態モデルに応用すること。

提案手法

• Fokker-Planck生成子から導かれる一様楕円型作用素を導入し、その零次項に特異係数を有するものとする。
• この特異作用素に対するスペクトルの離散性および主スペクトル論を確立する。
• 時間変換を施した過程を用いた、作用素が生成する半群の確率的表現を構築する。
• 近似および密度に関する議論を用いて、関連する放物型方程式の解のグローバルな正則性を証明する。
• 境界付近での挙動を制御し、無限大からの降下を保証するため、ライアプノフ型の条件を用いる。
• スペクトル理論を応用して収束速度およびQSDの一意性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限時間にほぼ確実に吸収する多次元拡散過程に対して、準定常分布が存在するための条件は何か？
• RQ2 初期分布がコンパクトに台を持つものに限らず、すべての初期分布に対してQSDへの指数的収束を確立できるか？
• RQ3 特異的で一様楕円型の作用素のスペクトル理論が、QSDの特徴づけおよびその収束性に果たす役割は何か？
• RQ4 ライアプノフ条件が、過程が無限大から降下することを保証する仕組みは何か？ そして、これとQSDの一意性とはどのように関係するか？
• RQ5 これらの結果は、ロトカ＝ヴォルテラ系を含む古典的生態モデルへ、どの程度まで応用可能か？

主な発見

• 自然なライアプノフ条件のもとで、準定常分布が存在し、コンパクトに台を持つ初期分布に対してQSDへの指数的収束が成立する。
• 無限大からの降下を保証するより強いライアプノフ条件のもとで、QSDは一意的であり、すべての初期分布に対して指数的収束が成立する。
• 関連する一様楕円型作用素のスペクトルは離散的であり、その主固有値が指数的減衰率を支配する。
• 作用素が生成する半群は、時間変換を施した拡散過程による確率的表現をもつ。
• 作用素の主固有関数は、QSDの密度関数に一致する。
• 結果は、Cattiauxら（2009）の1次元設定への一般化であり、HeningとNguyen（2018）の結果を、有限時間吸収をカバーする形で補完する。