[論文レビュー] Quasi-sure duality for multi-dimensional martingale optimal transport

Hadrien De March|arXiv (Cornell University)|May 4, 2018

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Lebesgue測度に対する標的測度の絶対連続性を仮定して、De March と Touzi (2018) の非可約パビング枠組みを次元 1, 2, 3 に拡張することにより、多変数マルティングル・オプティマル輸送における準確確双対性を確立する。非可約成分上で点ごとの双対性、問題の分解、多次元マルティングル単調性原理を証明し、連続体仮説の下で一般に、あるいは正則性条件を満たす低次元で成立する。

ABSTRACT

Based on the multidimensional irreducible paving of De March & Touzi, we provide a multi-dimensional version of the quasi sure duality for the martingale optimal transport problem, thus extending the result of Beiglböck, Nutz & Touzi. Similar, we also prove a disintegration result which states a natural decomposition of the martingale optimal transport problem on the irreducible components, with pointwise duality verified on each component. As another contribution, we extend the martingale monotonicity principle to the present multi-dimensional setting. Our results hold in dimensions 1, 2, and 3 provided that the target measure is dominated by the Lebesgue measure. More generally, our results hold in any dimension under an assumption which is implied by the Continuum Hypothesis. Finally, in contrast with the one-dimensional setting of Beiglböck, Lim & Obloj, we provide an example which illustrates that the smoothness of the coupling function does not imply that pointwise duality holds for compactly supported measures.

研究の動機と目的

• Beiglböck, Nutz と Touzi (2017) の準確確双対性枠組みを多変数マルティングル・オプティマル輸送へ拡張すること。
• 多次元非可約パビングを用いて特定された非可約成分上でマルティングル・オプティマル輸送問題の分解を確立すること。
• マルティングル単調性原理を高次元へ一般化すること。
• 点ごとの双対性が多変数設定で成立する条件を明確にすること、特に一次元結果と対比して。
• 連続体仮説などの基礎的集合論的仮定が、高次元における双対性結果の成立に果たす役割を調査すること。

提案手法

• De March と Touzi (2018) の多次元非可約パビング構成を用い、マルティングル輸送を局所的に解析可能な非可約成分に状態空間を分解する。
• 有界列上の非線形的かつ平行移動不変関数である中央極限を用いて、準確確双対解を構成し、その普遍可測性および測度線形性の性質を活用する。
• 非可約成分ごとの独立した部分問題にマルティングル輸送問題を分解するための分解法を用い、各成分で点ごとの双対性を検証する。
• 凸関数の振る舞いと非可約成分内での台のアフィン包における性質を分析することで、多次元マルティングル単調性原理を確立する。
• Hahn-Banach の定理と Jensen の不等式を用いて、凸順序条件 μ ≼ ν がマルティングルカップリングの存在について必要十分条件であることを特徴づける。
• 中央極限の存在に依存しており、これは Martin の公理および連続体仮説によって示唆されるため、一般次元において双対最適化子の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルティングル・オプティマル輸送における準確確双対性は、一次元を超える多次元設定へ拡張可能か？
• RQ2 高次元におけるマルティングル・オプティマル輸送問題は、非可約成分上で独立した部分問題に分解可能か？
• RQ3 多変数マルティングル・オプティマル輸送において、点ごとの双対性が成立する条件は何か？また、滑らかなカップリング関数であっても、何時失敗する可能性があるか？
• RQ4 非自明な幾何的構造を持つ高次元設定において、マルティングル単調性原理をどのように拡張できるか？
• RQ5 任意次元における双対性結果を保証するために、連続体仮説などの基礎的集合論的仮定は、必要か、十分か？

主な発見

• 標的測度 ν が Lebesgue 測度に関して絶対連続である限り、次元 1, 2, 3 において準確確双対性が成立する。
• マルティングル・オプティマル輸送問題は非可約成分上での独立した部分問題に分解可能であり、各成分で点ごとの双対性が検証されている。
• 多次元マルティングル単調性原理が確立され、一次元版が高次元へ一般化された。
• 本稿は、コンパクトに台を持つ測度において、カップリング関数の滑らかさが点ごとの双対性を保証しない反例を提示している。
• 連続体仮説によって示唆される中央極限の存在が、Lebesgue 絶対連続性が成立しない場合でさえ、任意次元における双対性結果の妥当性を保証する。
• 中央極限の構成に依存し、普遍的双対解を定義する。この極限作用素は測度線形性を保ち、弱い正則性仮定の下で双対性の証明を可能にする。