[論文レビュー] Quasilocal Energy in Kerr Spacetime

Jianliang Liu, Luen-Fai Tam|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ミンコフスキー背景を用いた4次元等長マッチング法により計算されたカー時空における準局所エネルギー（QLE）が、可縮面外の定常半径面において、ブラウン＝ヨークの準局所エネルギーと正確に一致することを確立している。適切な埋め込み条件のもとで臨界QLE値が導出され、それが一意であることが証明されており、小回転極限におけるホライズン付近で極値解が自明であることが示されている。

ABSTRACT

In this work we study the quasilocal energy as in [11] for a constant radius surface in Kerr spacetime in Boyer-Lindquist coordinates. We show that under suitable conditions for isometric embedding, for a stationary observer the quasilocal energy defined in [11] for constant radius in a Kerr like spacetime is exactly equal to the Brown-York quasilocal energy [2]. By some careful estimations, we show that for a constant radius surface in the Kerr spacetime which is outside the ergosphere the embedding conditions for the previous result are satisfied. We discuss extremal solutions as described in [14]. We prove a uniqueness result. We find all extremal solutions in the Minkowski spacetime. Finally, we show that near the horizon of the Kerr spacetime for the small rotation case the extremal solutions are trivial.

研究の動機と目的

• 4次元等長マッチングを用いて定義された準局所エネルギー（QLE）が、カー時空においてブラウン＝ヨークの準局所エネルギーと一致するかどうかを特定すること。
• カー時空における可縮面外の領域で、等長埋め込み条件が成り立つかを検証すること。
• QLE変分原理の文脈における極値解の構造と一意性を調査すること。
• 極値解がミンコフスキー時空およびカー時空のホライズン付近（特に小回転極限）でどのように振る舞うかを分析すること。

提案手法

• 4次元等長マッチング条件 $g_{\mu\nu} \doteq \bar{g}_{\mu\nu}$ を用いた、双対ヒルベルト形式から導かれたチエン＝ネスター＝トゥン（CNT）準局所エネルギー式を用いる。
• CNT形式からの境界項 $\mathcal{B}(\mathbf{N})$ を適用し、$4D$ マッチング条件下で $\Delta\Gamma^{\alpha}{}_{\beta}$ と $\iota_{\mathbf{N}}\eta_{\alpha}{}^{\beta}$ のみに依存する形に簡略化する。
• 特定の埋め込みアンサッツ $T(t,r,\theta), X=\rho\cos(\varphi+\Phi), Y=\rho\sin(\varphi+\Phi), Z(t,r,\theta)$ を仮定し、$\mathbf{N} = \partial_T$ とする。
• QLE汎関数の臨界点条件から、埋め込み関数 $x = T_r, y = T_\theta$ に対する常微分方程式系を導出する。
• 補助関数 $\Psi$, $W$ およびエネルギー推定を用いた詳細な漸近的・比較的解析により、解の一意性と自明性を証明する。
• 恒等式 $\ell = y^2 + \Sigma^2$ と $\alpha^2 = x^2\Sigma^2 + R^2\ell$ を用いて、$\mathcal{B}(\partial_T)$ の最終的表現を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元等長マッチングを用いて定義されたカー時空における準局所エネルギーは、定常半径面においてブラウン＝ヨークの準局所エネルギーと一致するか？
• RQ2 カー時空において可縮面外の領域で、QLE構成に必要な等長埋め込み条件が満たされているか？
• RQ3 カー時空におけるQLE変分問題の極値解の構造と一意性はいかなるものか？
• RQ4 小回転極限におけるカー時空のホライズン付近で極値解は自明であるか？
• RQ5 ミンコフスキー時空における極値解は何か？ そして、一般枠組みとどのように関係するか？

主な発見

• 参考文献[11]で定義された、カー時空における定常半径面の準局所エネルギーは、指定された埋め込み条件下で、ブラウン＝ヨークの準局所エネルギーと正確に一致する。
• QLEがブラウン＝ヨークエネルギーと一致するための埋め込み条件は、カー時空における可縮面外の領域で満たされている。
• 一意性の結果が証明された：臨界点方程式を満たす唯一の極値解は自明である、すなわち $x \equiv 0$, $y \equiv 0$ である。
• ミンコフスキー時空では、すべての極値解が自明であり、一意性結果と整合的である。
• カー時空のホライズン付近（小回転極限）において、極値解は自明である。これは、この領域に非自明な臨界構成がないことを示している。
• 境界項 $\mathcal{B}(\partial_T)$ の最終的表現は、$A/D$, $C/D$, および $AH_\theta/(D\beta\ell)$ を含む形に簡略化され、変分的アプローチの整合性が確認された。