[論文レビュー] Quasitriangular WZW model

C. Klimčı́k|ArXiv.org|Mar 15, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、アフィン Lu-Weinstein-Soibelman Drinfeld 二重を介して、標準的 WZW モデルの滑らかな1パラメータの変形として、準三角的 WZW モデルを導入する。このモデルは、ポisson-リー対称性と正確な可解性を備える。主な結果は、スペクトルパラメータを有する楕円的動的 r-行列の出現であり、これはシンプレクティック構造を特徴づけ、古典的 q-変形 WZW モデルと楕円曲線上の量子 WZW 理論を結びつける。

ABSTRACT

A dynamical system is canonically associated to every Drinfeld double of any affine Kac-Moody group. The choice of the affine Lu-Weinstein-Soibelman double gives a smooth one-parameter deformation of the standard WZW model. In particular, the worldsheet and the target of the classical version of the deformed theory are the ordinary smooth manifolds. The quasitriangular WZW model is exactly solvable and it admits the chiral decomposition.Its classical action is not invariant with respect to the left and right action of the loop group, however it satisfies the weaker condition of the Poisson-Lie symmetry. The structure of the deformed WZW model is characterized by several ordinary and dynamical r-matrices with spectral parameter. They describe the q-deformed current algebras, they enter the definition of q-primary fields and they characterize the quasitriangular exchange (braiding) relations. Remarkably, the symplectic structure of the deformed chiral WZW theory is cocharacterized by the same elliptic dynamical r-matrix that appears in the Bernard generalization of the Knizhnik-Zamolodchikov equation, with q entering the modular parameter of the Jacobi theta functions. This reveals a tantalizing connection between the classical q-deformed WZW model and the quantum standard WZW theory on elliptic curves and opens the way for the systematic use of the dynamical Hopf algebroids in the rational q-conformal field theory.

研究の動機と目的

• 標準的 WZW モデルの滑らかな1パラメータ変形を、アフィン Lu-Weinstein-Soibelman Drinfeld 二重を用いて構成すること。
• 標準的グローバル対称性の代わりにポアソン-リー対称性を持つ、古典的かつ正確に可解なモデルを確立すること。
• チャーラル WZW 理論のシンプレクティック構造が、ベルナールの KZ 方程式の一般化に現れるものと同一の楕円的動的 r-行列によって特徴づけられることを示すこと。
• 古典的 q-変形ゲージ代数と楕円曲線上の量子コンformal field theory の間の深い関係を明らかにすること。
• 動的ホップアレブロイドを用いた rational q- conformal field theory の基盤を築くこと。

提案手法

• アフィン Kac-Moody 群 $\tilde{G} = \mathbb{R} \times_{\hat{S}} \widehat{LG_0}$ 上のマスターモデルを構築し、作用 $S(\tilde{g}) = -\frac{\kappa}{4} \int d\tau \left( \tilde{g}^{-1} \frac{d}{d\tau} \tilde{g}, \tilde{g}^{-1} \frac{d}{d\tau} \tilde{g} \right)_{\tilde{\mathfrak{g}}}$ を用い、$T^*\tilde{G}$ 上の測地線運動を記述する。
• Drinfeld 二重 $\tilde{\tilde{D}} = \mathbb{R}^2 \times_{S,Q} \widehat{LG_0^\mathbb{C}}$ 上の Semenov-Tian-Shansky の2形式を用いてマスターモデルを変形し、標準的シンプレクティック構造を準三角的構造に置き換える。
• 2段階のシンプレクティック減少を実行し、マスターモデルから準三角的 WZW モデルに還元する。この過程でチャーラル分解とポアソン-リー対称性を保存する。
• アフィン Lu-Weinstein-Soibelman 二重から得られる変形された動的 r-行列（スペクトルパラメータを有する）を導出し、これがバーニング関係と q-変形ゲージ代数を支配する。
• 古典的作用が標準的左/右ループ群対称性ではなく、ポアソン-リー対称性に関して不変であることを特定し、変形を可能にする。
• シンプレクティック構造に現れる楕円的動的 r-行列が、ベルナールの KZ 方程式の一般化に現れるものと一致することを確立し、古典的・量子理論を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Drinfeld 二重構造を用いて、標準的 WZW モデルを体系的に変形し、新たな正確に可解なモデルクラスを導く方法は何か？
• RQ2 アフィン Lu-Weinstein-Soibelman 二重は、WZW モデルの滑らかな1パラメータ変形を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ3 この変形の下で、チャーラル WZW 理論のシンプレクティック構造はどのように変化するのか？ そして得られる r-行列の性質は何か？
• RQ4 古典的準三角的 WZW モデルとベルナールの量子 KZ 方程式の両方に同じ楕円的動的 r-行列が現れるという事実は、どのような量子-古典対応を示唆するか？
• RQ5 この古典的モデルに基づいて、動的ホップアレブロイドの枠組みを rational q- conformal field theory に体系的に応用できるか？

主な発見

• 準三角的 WZW モデルは正確に可解であり、チャーラル分解を許容する。古典的作用は標準的グローバル対称性ではなく、ポアソン-リー対称性に関して不変である。
• 変形モデルは、$T^*\tilde{G}$ 上のマスターモデルから2段階のシンプレクティック減少を経て構築され、Drinfeld 二重 $\tilde{\tilde{D}} = \mathbb{R}^2 \times_{S,Q} \widehat{LG_0^\mathbb{C}}$ がシンプレクティック構造を提供する。
• チャーラル理論のシンプレクティック構造は、スペクトルパラメータを有する楕円的動的 r-行列によって特徴づけられ、ベルナールの KZ 方程式の一般化に現れるものと同一である。
• q-変形ゲージ代数は、変形された動的 r-行列によって実現され、同時に q-一次元場の準三角的交換関係（バーニング関係）を支配する。
• 極限 $q \to 1$ において、標準的 WZW モデルが回復され、元の理論と整合性が確認される。
• 本モデルは、古典的 q-変形 WZW 理論と楕円曲線上の量子 WZW 理論の間の直接的な関係を確立し、動的ホップアレブロイドを介した rational q- conformal field theory の統一的枠組みを示唆する。