[論文レビュー] Qubiter Algorithm Modification, Expressing Unstructured Unitary Matrices with Fewer CNOTs

Robert R. Tucci|ArXiv.org|Nov 3, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、非構造的ユニタリ行列を分解するために必要なCNOTゲート数を削減する、Qubiter量子コンパイラの変更版であるTuc04を提案する。Tuc04(R)というバリエーションでは、緩和プロセスを導入することで、世界記録を更新したMich04アルゴリズムと同等のCNOT数を達成し、小さなキュービット数では理論的下界にも一致する。

ABSTRACT

A quantum compiler is a software program for decomposing ("compiling") an arbitrary unitary matrix into a sequence of elementary operations (SEO). The author of this paper is also the author of a quantum compiler called Qubiter. Qubiter uses a matrix decomposition called the Cosine-Sine Decomposition (CSD) that is well known in the field of Computational Linear Algebra. One way of measuring the efficiency of a quantum compiler is to measure the number of CNOTs it uses to express an unstructured unitary matrix (a unitary matrix with no special symmetries). We will henceforth refer to this number as $ε$. In this paper, we show how to improve $ε$ for Qubiter so that it matches the current world record for $ε$, which is held by another quantum compiling algorithm based on CSD.

研究の動機と目的

• 非構造的ユニタリ行列を分解するために必要なCNOTゲート数を、量子コンパイラで削減すること。
• コサイン・サイン分解（CSD）アプローチを変更することで、Qubiter量子コンパイラの効率を向上させること。
• 特にN_B ≥ 3キュービットの場合に、非構造的ユニタリ行列分解におけるCNOT数の現在の世界記録を一致または上回ること。
• 新しい緩和プロセスの有効性をTuc04(R)バリエーションで検証すること。このプロセスは、最適なCNOT数に到達すると仮定されている。

提案手法

• ユニタリ行列を対角ユニタリと一様制御U(2)ゲートに分解するため、再帰的コサイン・サイン分解（CSD）を用いてTuc99量子コンパイラアルゴリズムを変更する。
• 2つのバリエーションを導入する：緩和なしのTuc04(NR)と緩和プロセスを有するTuc04(R)。
• 回転角とパウリ行列成分を含むγ_b項の和として表されるコスト関数Lを最小化するための変動的最適化フレームワークを用いる。
• 最適な回転軸を求めるために、数値的手法を用いて方向ベクトルwに関する方程式系（式78）を導出し、解く。
• 回転基底ベクトルs1, s2, wに正規直交性制約を適用することで自由度を減少させ、ユニタリ性を保証する。
• δs1, δs2, δwに関連する独立パラメータλ1, λ2, λを用いてコスト関数の変動δLを表現し、勾配に基づく最適化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tuc99量子コンパイラは、非構造的ユニタリ行列のCNOT数を世界記録に一致させるように変更可能か？
• RQ2 Tuc04(R)における緩和プロセスは、最小CNOT数に到達する解に収束するか？
• RQ3 Tuc04(R)のCNOT数が、N_B > 2の場合に解析的または数値的に理論的下界に一致するか？
• RQ4 異なるキュービット数において、Tuc04(R)の性能はMich04およびHUT04bと比較してCNOT数の面でどのように異なるか？
• RQ5 方向ベクトルs1, s2, wおよびそれらの変動は、コスト関数の最小化とCNOT数の削減にどのように寄与するか？

主な発見

• Tuc04(R)は、(2^{N_B} - 1)(2^{N_B - 1} - 1)というCNOT数を達成し、Mich04アルゴリズムが樹立した世界記録と一致する。
• Tuc04(R)は最適なCNOT効率に到達すると推定されるが、その緩和プロセスの収束に関する厳密な証明は未だ存在しない。
• Tuc04(NR)バリエーションはTuc04(R)より性能が悪く、CNOT数が(2^{N_B} - 1)(2^{N_B - 1} - 1) + 2^{N_B}であるため、最適性を達成するには緩和プロセスが不可欠であることが示された。
• HUT04bアルゴリズムは、Mich04およびTuc04(R)の両方よりも性能が悪く、CNOT数が(2^{N_B} - 1)(2^{N_B - 1} - 1) + 2^{N_B} + O(1)である。
• CNOT数の理論的下界はε ≥ 1/4(4^{N_B} - 3N_B - 1)であり、N_B = 2では達成可能だが、N_B > 3では達成可能かどうかは不明である。
• 最適化フレームワークは、未知数k_xおよびk_yに関する2つの方程式（式78）を解くことで、コスト関数δLを0にまで低下させ、低CNOT解への収束を可能にした。