[論文レビュー] Quillen adjunctions induce adjunctions of quasicategories

Aaron Mazel-Gee|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 38

ひとこと要約

この論文は、関手的因数分解や完全な双完全性を仮定しないモデル圏の間のクィレン随伴が、それらの基礎となる擬代数的圏の間の標準的な随伴を誘導することを証明する。主な洞察は、同型的理論と非直線化構成を用いることで、関手的でないコフレアとフレアの置換関手ですら、コフレアとフレアの置換関手を用いて単位および余単位変換を構成できることにある。

ABSTRACT

We prove that a Quillen adjunction of model categories (of which we do not require functorial factorizations and of which we only require finite bicompleteness) induces a canonical adjunction of underlying quasicategories.

研究の動機と目的

• モデル圏におけるクィレン随伴と∞-圏理論における随伴との関係を解明する長年の問いを解決すること。
• 関手的因数分解や完全な双完全性を仮定しない条件下でも、クィレン随伴が擬代数的圏の随伴を誘導することを確立すること。
• コフレアおよびフレアの置換関手の構造のみを用いて、擬代数的圏レベルでの誘導随伴の標準的構成を提供すること。
• 内部的同型的理論（モデル圏を介して）と外部的同型的理論（擬代数的圏を介して）を統合し、擬代数的圏が高次圏的構造の自然な枠組みであることを裏付けること。

提案手法

• 相対圏と擬代数的圏の間の非直線化構成を用いることで、随伴データの移行を可能にする。
• コフレア置換の包含写像と右導来関手の合成を通じて単位変換を構成し、基礎となる擬代数的圏上の関手間の自然変換を用いる。
• 双対的に、フレア置換と左導来関手を用いて余単位変換を構成し、関手的フレア置換を仮定しない。
• コフレア対象の包含が、関手的置換が存在しない場合でも、基礎となる擬代数的圏上で同値を誘導することに依存する。
• ドワーレ＝カンの結果（ハマック局所化と双フレア対象のフル部分圏はベルナールモデル構造において弱同値である）を適用する。
• ルリーの結果（単体的クィレン随伴が擬代数的圏の随伴を誘導する）を、置換技法を用いて一般のクィレン随伴に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関手的因数分解を仮定しない一般のモデル圏間のクィレン随伴は、擬代数的圏の随伴を誘導できるか？
• RQ2 コフレア／フレア置換関手が関手的でない場合、擬代数的圏の文脈で誘導随伴の単位および余単位をどのように構成できるか？
• RQ3 クィレン随伴は、∞-圏の文脈において、整合性のある随伴といった高次圏的データをどの程度にまで符号化できるか？
• RQ4 モデル圏のホモトピー的構造のみを用いて、クィレン随伴から擬代数的圏の随伴を標準的に抽出する方法はあるか？
• RQ5 コフレア置換関手のような補助的選択に依存しない形で、誘導随伴の構成を可能にすることができるか？

主な発見

• 関手的因数分解を仮定しないモデル圏間のクィレン随伴は、基礎となる擬代数的圏の間で標準的な随伴を誘導する。
• 単位変換は、コフレア対象の包含と右導来関手の合成を通じて構成され、コフレア対象の擬代数的圏とフル擬代数的圏との同値性に依存する。
• 余単位変換は、フレア置換と左導来関手を用いて双対的に構成され、関手的フレア置換を仮定しない。
• この構成は、コフレアまたはフレア置換関手の選択に依存せず、ホモトピー的構造と自然変換にのみ依存する。
• この結果は、単体的クィレン随伴に関する先行研究を一般化し、置換定理を用いて任意のクィレン随伴へと拡張する。
• 証明により、基礎となる擬代数的圏の構成が随伴を保存することを示し、擬代数的圏がモデル圏から高次圏的随伴を符号化するのに適した枠組みであることを裏付ける。