[論文レビュー] Quillen equivalences between the model categories of smooth spaces, simplicial sets, and arc-gengerated spaces

Hiroshi Kihara|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Intracranial Aneurysms: Treatment and Complications参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単体的集合、微分空間、弧生成空間のモデル圏の間でクイレン同値性を確立し、随伴関手を介してそれらのホモトピー理論が同値であることを示している。さらに、チェン空間に対してもコンパクト生成モデル構造が存在することを示し、チェン空間と微分空間の間の随伴対がクイレン同値性を満たすことを示しており、これらのカテゴリにおける滑らかなホモトピー理論を統一している。

ABSTRACT

In the preceding paper, we have constructed a compactly generated model structure on the category $\dcal$ of diffeological spaces together with the adjoint pairs $|\ |_\dcal : \scal ightleftarrows \dcal : S^\dcal$ and $ ilde{\cdot} : \dcal ightleftarrows \ccal^0 : R$, where $\scal$ and $\ccal^0$ denote the category of simplicial sets and that of arc-generated spaces, respectively. In this paper, we show that $(|\ |_\dcal, S^\dcal)$ and $( ilde{\cdot}, R)$ are pairs of Quillen equivalences. Since our approach developed in the preceding paper applies to the category $\ccal h$ of Chen spaces as well, $\ccal h$ is also a compactly generated model category. We also show that the adjoint pair $\mathfrak{S}_\mathfrak{o} : \ccal h ightleftarrows \dcal : \mathfrak{Ch}^\sharp$ introduced by Stacey is a pair of Quillen equivalences.

研究の動機と目的

• 単体的集合、微分空間、弧生成空間のモデル圏の間でクイレン同値性を確立すること。
• チェン空間へのコンパクト生成モデル構造の拡張を示し、それが微分空間とクイレン同値であることを示すこと。
• スティーブスが導入したチェン空間と微分空間の間の随伴対がクイレン同値性を満たすことを示すこと。
• ホモトピー的同値性を通じて、一般化された滑らかな空間の異なるカテゴリにおける滑らかなホモトピー理論を統一すること。
• 無限次元の $C^\infty$-多様体のホモトピー型を導来同値性を通じて研究するための基盤を提供すること。

提案手法

• 随伴対 $|\,|_{\mathcal{D}}: \mathcal{S} \rightleftarrows \mathcal{D} : S^{\mathcal{D}}$ および $\tilde{\cdot}: \mathcal{D} \rightleftarrows \mathcal{C}^0 : R$ を用いて、微分空間の圏にコンパクト生成モデル構造を構成する。
• 微分空間に対する特異ホモロジー理論を構築し、ヘクターおよびイglesias＝ゼムールの立方ホモロジーと自然同型であることを示す。
• 特異ホモロジーの結果と微分空間のファイブレーター性を用いて、随伴対 $|\,|_{\mathcal{D}}$ および $\tilde{\cdot}$ がクイレン同値性を満たすことを証明する。
• モデル構造の構成をチェン空間へ拡張し、$\mathcal{C}h$ がコンパクト生成モデル圏であることを証明する。
• 単体の保存性と初期構造の保存性を用いて、スティーブスの随伴対 $\mathfrak{S}_{\mathfrak{o}}: \mathcal{C}h \rightleftarrows \mathcal{D} : \mathfrak{Ch}^{\sharp}$ がクイレン同値性を満たすことを示す。
• 単体的集合 $\mathcal{S}$、チェン空間 $\mathcal{C}h$、微分空間 $\mathcal{D}$、弧生成空間 $\mathcal{C}^0$ の四つのカテゴリを結ぶクイレン同値性の可換図式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 随伴対 $|\,|_{\mathcal{D}}: \mathcal{S} \rightleftarrows \mathcal{D} : S^{\mathcal{D}}$ および $\tilde{\cdot}: \mathcal{D} \rightleftarrows \mathcal{C}^0 : R$ は、それぞれのモデル圏の間でクイレン同値性を満たすか？
• RQ2 チェン空間の圏 $\mathcal{C}h$ は、その滑らかさ構造と整合するコンパクト生成モデル構造を備えているか？
• RQ3 スティーブスの随伴対 $\mathfrak{S}_{\mathfrak{o}}: \mathcal{C}h \rightleftarrows \mathcal{D} : \mathfrak{Ch}^{\sharp}$ はクイレン同値性を満たすか？
• RQ4 微分空間の圏 $\mathcal{D}$ のコフレイバー対象のホモトピー型は、滑らかな空間の特異ホモロジーおよびホモトピー群とどのように関係するか？
• RQ5 微分空間 $X,Y$ に対して、$S^{\mathcal{D}}(X,Y)$ が $S^{\mathcal{C}^0}(\tilde{X},\tilde{Y})$ とホモトピー同値であるための条件は何か？

主な発見

• 随伴対 $|\,|_{\mathcal{D}}: \mathcal{S} \rightleftarrows \mathcal{D} : S^{\mathcal{D}}$ はクイレン同値性を満たし、単体的集合と微分空間の間でホモトピー同値性が確立される。
• 随伴対 $\tilde{\cdot}: \mathcal{D} \rightleftarrows \mathcal{C}^0 : R$ はクイレン同値性を満たし、微分空間と弧生成空間を結ぶ。
• チェン空間 $\mathcal{C}h$ はコンパクト生成モデル構造を備えており、滑らかなホモトピー理論のための有効なホモトピー的圏である。
• スティーブスの随伴対 $\mathfrak{S}_{\mathfrak{o}}: \mathcal{C}h \rightleftarrows \mathcal{D} : \mathfrak{Ch}^{\sharp}$ はクイレン同値性を満たし、チェン空間と微分空間がホモトピー理論において統一される。
• $\tilde{\cdot}$ と $R$ の導来関手は、$\mathcal{D}$ と $\mathcal{C}^0$ のクイレンホモトピー圏の間の同値を誘導するが、必ずしも写像空間の間の同値性を保証するわけではない。
• 微分空間の特異ホモロジーは、ヘクターおよびイglesias＝ゼムールの立方ホモロジーと自然同型であることが示され、この文脈におけるホモロジー理論の妥当性が裏付けられる。