[論文レビュー] Model Structures for Correspondences and Bifibrations

Danny Stevenson|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は単体的集合の文脈において双ファイブレーションおよび対応のモデルカテゴリ構造を確立し、∞-圏 A および B からの双ファイブレーションが (Set_Δ)_{/(A×B)} 上の左適切で結合的モデル構造におけるファイブレント対象であることを証明する。さらに、対応の圏 Corr(A,B) 上にモデル構造を構成し、これらの構造と共変モデル構造との間で複数のクィレン同値を示し、古典的なファイブレーションに関する結果を双変化した設定に一般化する。

ABSTRACT

We study the notion of a bifibration in simplicial sets which generalizes the classical notion of two-sided discrete fibration studied in category theory. If $A$ and $B$ are simplicial sets we equip the category of simplicial sets over $A imes B$ with the structure of a model category for which the fibrant objects are the bifibrations from $A$ to $B$. We also equip the category of correspondences of simplicial sets from $A$ to $B$ with the structure of a model category. We describe several Quillen equivalences relating these model structure with the covariant model structure on the category of simplicial sets over $B^{\mathrm{op}} imes A$.

研究の動機と目的

• A と B からの双ファイブレーションがファイブレント対象であるような、(Set_Δ)_{/(A×B)} 上の単体的集合の圏におけるモデルカテゴリ構造を定義し構成すること。
• 対応の圏 Corr(A,B) に、ファイブレント対象が総空間が ∞-圏である対応であるような左適切で結合的なモデル構造を備えること。
• Corr(A,B) 上のモデル構造、(Set_Δ)_{/(A×B)} 上の双変モデル構造、および (Set_Δ)_{/(B^op × A)} 上の共変モデル構造の間のクィレン同値を確立すること。

提案手法

• (Set_Δ)_{/(A×B)} 上の双変アノイド写像の概念を導入し、双変モデル構造におけるアセスコヘンスコヘンスを生成する。
• 単射をコフェイブルとし、ファイブレント対象を双ファイブレーションとするように定義することで、左適切性と結合性を用いて (Set_Δ)_{/(A×B)} 上の双変モデル構造を構成する。
• コアノニカルモデル構造を (Set_Δ)_{/B⋆A} 上のジョイアルモデル構造からの左引き戻しモデル構造として、Corr(A,B) 上の対応モデル構造を定義する。
• 関手 d* および d* を通じて Corr(A,B) と (Set_Δ)_{/(A×B)} 間にクィレン随伴を確立し、ファイバーごとのホモトピー同値を用いてクィレン同値を証明する。
• 対応 X からそのセクションの空間 Γ(X) を写す関手 Γ: Corr(A,B) → (Set_Δ)_{/(A×B)} 及びその左随伴 C を用い、第二のクィレン同値を証明する。
• ルーリエおよびジョイアルによる左ファイブレーションおよび右ファイブレーションに関する結果を応用し、ファイバーごとのホモトピー同値や、コンパクトなファイバー基準といった性質を双変設定に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的集合における双ファイブレーションの概念は、(Set_Δ)_{/(A×B)} 上のクィレンモデルカテゴリ構造におけるファイブレント対象として形式化可能か？
• RQ2 対応の圏 Corr(A,B) に、ファイブレント対象が指定されたファイバー A および B を持つ Δ¹ 上の ∞-圏であるような自然なモデル構造が存在するか？
• RQ3 Corr(A,B) 上のモデル構造および (Set_Δ)_{/(A×B)} 上のモデル構造は、(Set_Δ)_{/(B^op × A)} 上の共変モデル構造とクィレン同値か？
• RQ4 双変同値は、双ファイブレーションの文脈において、ファイバーごとのホモトピー同値とどのように関係するか？
• RQ5 セクション関手 Γ 及びその左随伴 C は、対応モデル構造と双変モデル構造を結ぶ上で果たす役割は何か？

主な発見

• (Set_Δ)_{/(A×B)} は、コフェイブルが単射であり、ファイブレント対象が A から B への双ファイブレーションであるような左適切で結合的なモデル構造を備える。
• A から B への対応の圏 Corr(A,B) は、コフェイブルが単射であり、ファイブレント対象が X→Δ¹ で X が ∞-圏であるような対応であるような左適切で結合的なモデル構造を備える。
• 随伴対 (d*, d*) を通じて、Corr(A,B) 上の対応モデル構造と (Set_Δ)_{/(A×B)} 上の双変モデル構造との間でクィレン同値が確立される。
• 双ファイブレーション X→A×B と Y→A×B 間の双変同値は、すべての a∈A, b∈B に対して誘導されるファイバー写像 X(a,b)→Y(a,b) が弱ホモトピー同値であることと同値である。
• 双ファイブレーション X→A×B が自明なケン複体ファイブレーションであることは、すべてのファイバー X(a,b) がコンパクトなケン複体であることと同値である。
• (Set_Δ)_{/(A×B)} と Corr(A,B) 間の随伴対 (C, Γ) はクィレン同値であり、双変モデル構造と対応モデル構造との間の第二のクィレン同値を確立する。