[論文レビュー] Quillen Theorems Bn for homotopy pullbacks of (infinity, k)-categories

Clark Barwick, D Kan|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ホップキンズとレツクの鋭い写像から導かれるファイブレーション構造（ファイブレーション）を用いて、$(\infty,k)$-圏におけるホモトピー・プルバックをQuillenの定理Bに拡張する。性質$B_n$の下で、$n$-arrow プルバック圏$f\mathbf{X} \downarrow_n g\mathbf{Y}$がホモトピー・プルバックであることを確立し、リレーティブ・カテゴリおよび$k$-リレーティブ・カテゴリへの一般化を、リーディーおよびレツクのモデル構造を用いて行う。

ABSTRACT

We extend the Quillen Theorem Bn for homotopy fibers of Dwyer, et al. to similar results for homotopy pullbacks and note that these results imply similar results for zigzags in the categories of relative categories and k-relative categories, not only with respect to their Reedy structures but also their Rezk structure, which turns them into models for the theories of (infinity, 1)- and (infinity, k)-categories, respectively.

研究の動機と目的

• ホモトピー・プルバックを$(\infty,k)$-圏に一般化すること。
• 関手$f$が性質$B_n$を満たすとき、$n$-arrow プルバック圏$f\mathbf{X} \downarrow_n g\mathbf{Y}$がホモトピー・プルバックを表すことを確立すること。
• リーディーおよびレツクのモデル構造を用いて、これらの結果をリレーティブ・カテゴリおよび$k$-リレーティブ・カテゴリに拡張すること。
• 厳密な$3$-arrow 計算が性質$C_3$を意味することを示し、高次元Quillen定理の適用に十分な条件を提供すること。
• ホップキンズの鋭い写像の類似物たるファイブレーションを用いたフレームワークを構築し、ホモトピー・プルバックの特徴づけを証明すること。

提案手法

• ホップキンズとレツクの鋭い写像の再解釈であるファイブレーションを用い、右適正なモデルカテゴリにおけるファイブレーションに似た性質を持つ。
• ファイブレーションのリフト補題（補題9.4）を用いて、$w_*$や積構成など、関手を通じてファイブレーションの性質を転送する。
• $k$-単体的ネ载体関手$\mathrm{s}^k\mathrm{N}$を用い、$k$-リレーティブ・カテゴリと$k$-単体的空間の間の関係を確立する。
• Quillenのファイブレーション補題（補題9.7）を適用し、特に$\widehat{\mathbf{Cat}}$において、オーバー圏からファイブレーションを構成する。
• $\mathrm{s}^k\widehat{\mathbf{Cat}}$および$\mathbf{Rel}^k\mathbf{Cat}$におけるレツク構造を用いて、$(\infty,1)$-および$(\infty,k)$-圏をモデル化する。
• グローバル同値補題（補題5.13）を用い、$w_*$などのホモトピー同値を通じてホモトピー・プルバックの性質を転送する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジグザグ$f: \mathbf{X} \to \mathbf{Z} \leftarrow \mathbf{Y}: g$に対して、$n$-arrow プルバック圏$f\mathbf{X} \downarrow_n g\mathbf{Y}$がホモトピー・プルバックであるための条件は何か？
• RQ2 Quillenの定理$B_n$は、個々の関手から$(\infty,k)$-圏におけるジグザグのホモトピー・プルバックへどのように拡張可能か？
• RQ3 鋭い写像から導かれるファイブレーションは、リレーティブ・カテゴリおよび$k$-リレーティブ・カテゴリにおけるホモトピー・プルバックの特徴づけにどのような役割を果たすか？
• RQ4 厳密な$3$-arrow 計算は、性質$C_3$を満たす十分な条件として機能するか？
• RQ5 リレーティブ・カテゴリおよび$k$-リレーティブ・カテゴリにおけるリーディーおよびレツクのモデル構造は、同じホモトピー・プルバック特徴づけをどのように支援するか？

主な発見

• 関手$f$が性質$B_n$を満たすとき、$n$-arrow プルバック圏$f\mathbf{X} \downarrow_n g\mathbf{Y}$はホモトピー・プルバックである。実際のホモトピー・プルバックへのモノモルフィズムが存在し、プルバックがホモトピー不変である場合には弱同値である。
• $k$-リレーティブ・カテゴリ（$k > 1$）においても、$B_n$または$C_n$条件の下で同様の結果が成り立ち、リーディーおよびレツクのモデル構造の両方で有効である。
• $f$が性質$B_n$を満たすとき、写像$\pi: f\mathbf{X} \downarrow_n \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}$はファイブレーションである。この構造は$w_*$および積関手を通じてリフト可能である。
• $k$-単体的ネ载体関手$\mathrm{s}^k\mathrm{N}$はファイブレーション構造を保存し、$\mathrm{s}^k\widehat{\mathbf{Cat}}$から$\mathbf{Rel}^k\mathbf{Cat}$への結果の転送を可能にする。
• 厳密な$3$-arrow 計算は性質$C_3$を意味し、$B_3$型の定理が適用可能であるための明確な十分条件を提供する。
• $\mathbf{RelCat}$から$\mathrm{s}^k\widehat{\mathbf{Cat}}$への$w_*$関手はホモトピー同値であり、グローバル同値補題を介して、ホモトピー・プルバックの結果をカテゴリ間で転送可能である。