[論文レビュー] Quilted Floer trajectories with constant components

Katrin Wehrheim, Chris Woodward|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、定数成分を含むクイルトド・フロアー軌道の横断性の証明を完成させる。そのために、このような軌道のモジュライ空間の正則性を保証する一般のスプリットハミルトニアン摂動を導入する。一般のスプリット almost complex 構造およびハミルトニアン摂動の選択のもとで、任意のインデックスを持つクイルトド・フロアー軌道のモジュライ空間は、一部の成分が定数であっても滑らかで期待される次元を持つことが示される。

ABSTRACT

We fill a gap in the proof of the transversality result for quilted Floer trajectories in arXiv:0905.1370 by addressing trajectories for which some but not all components are constant. Namely we show that for generic sets of split Hamiltonian perturbations and split almost complex structures, the moduli spaces of parametrized quilted Floer trajectories of a given index are smooth of expected dimension. An additional benefit of the generic split Hamiltonian perturbations is that they perturb the given cyclic Lagrangian correspondence such that any geometric composition of its factors is transverse and hence immersed.

研究の動機と目的

• 文献[6]におけるクイルトド・フロアー軌道の横断性証明におけるギャップを、一部の成分が定数であるがすべてが定数でない軌道に対して埋める。
• 一般のスプリット摂動データのもとで、このような軌道のモジュライ空間が滑らかで期待される次元を持つことを確立する。
• 一般のスプリットハミルトニアン摂動が、ラグランジュ的対応の幾何的合成の横断性を保証することを示す。
• クイルトド軌道における定数成分が局所化された幾何的合成に対応することを示し、帰納的正則性議論を可能にする。
• 正則な almost complex 構造の集合が、スプリット almost complex 構造の空間においてコメアグレであることを証明する。これにより、一般の正則性が保証される。

提案手法

• スプリットハミルトニアン摂動の空間 $\mathcal{H}_{t}(\underline{\delta})$ に、幾何的合成が横断的かつ埋め込まれたままであるような、稠密な開部分集合を導入する。
• 定数成分を含む軌道に対する線形化されたコーシー・リーマン作用素 $D_{\underline{u}}\overline{\partial}_{\underline{J}}$ を分析し、ラグランジュ的シーム条件を満たす $-J$-擬全純セクションを用いて、余核に注目する。
• 定数成分のケースを、定数ストリップ上での局所化された幾何的合成に帰着させる。このとき、隣接する非定数成分が定数成分の接空間内にアイソトロープ境界条件を誘導する。
• アイソトロープ部分空間 $\Lambda_j(s)$ および $\Lambda_j'(s)$ が $s$ に依存することを用いて、関連する作用素 $\partial_s + A$ が非自明な核を持たない限り、$J$-擬全純セクション $\eta_j$ は消えることを示す。これは一般の選択のもとで回避可能である。
• 線形化作用素を非定数成分上の作用素と、定数成分をはさんで接続する結合作用素の直和に分解し、帰納的かつ段階的な正則性の伝播を示すことで、全射性を証明する。
• タウブスの交差議論を適用し、$\mathcal{C}^\ell$-正則性を $\mathcal{C}^\infty$-正則性に拡張する。コンパクトネスとグルーリングを用いて、正則性が $\mathcal{C}^1$-極限のもとで保存されることを示し、正則な $\underline{J}$ の集合がコメアグレであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スプリット摂動データのもとで、一部の成分が定数であるがすべてが定数でないクイルトド・フロアー軌道について、横断性を確立できるか？
• RQ2 一般のスプリットハミルトニアン摂動は、ラグランジュ的対応の因子の幾何的合成が横断的かつしたがって埋め込まれたままであることを保証するか？
• RQ3 定数成分を含むクイルトド・フロアー軌道のモジュライ空間は、局所化された幾何的合成により、次元が低いクイルトド問題に還元可能か？
• RQ4 すべての関連する線形化作用素が全射であるようなスプリット almost complex 構造の集合が、$\mathcal{C}^\infty$-位相においてコメアグレであるか？
• RQ5 コンパクトネスとグルーリングの議論を用いて、正則性を $\mathcal{C}^\ell$ から $\mathcal{C}^\infty$ に拡張できるか？

主な発見

• 一般のスプリットハミルトニアン摂動を $\mathcal{H}_{t}(\underline{\delta})$ にとるとき、任意のインデックスを持つクイルトド・フロアー軌道のモジュライ空間は滑らかで期待される次元を持つ。
• すべての軌道 $\underline{u}$ に対して線形化作用素 $D_{\underline{u}}\overline{\partial}_{\underline{J}}$ が全射であるようなスプリット almost complex 構造 $\underline{J}$ の集合は、$\mathcal{J}_{t}(\underline{\delta})$ 内でコメアグレである。
• 一般のスプリットハミルトニアン摂動により、巡回的ラグランジュ的対応の因子のすべての幾何的合成が横断的かつしたがって埋め込まれたままであることが保証される。
• 定数成分を含む軌道は、局所化された幾何的合成によって得られる短い巡回的一般化ラグランジュ的対応に対するクイルトド・フロアー軌道を誘導する。
• 作用素を分解し、段階的全射性の証明を行うことで、$\underline{J}$ を一般に選ぶと、インデックスが $k_0$ 以下のすべての解 $\underline{u}$ に対して線形化作用素 $D_{\underline{u}}\overline{\partial}_{\underline{J}}$ が全射であることが示される。
• コンパクトネスとグルーリングの議論を用いて、正則性の結果を $\mathcal{C}^\ell$ から $\mathcal{C}^\infty$ に拡張する。正則な $\underline{J}$ の集合が、可算個の開稠密集合の共通部分であることが示される。