[論文レビュー] Quiver varieties and elliptic quantum groups

Yaping Yang, Gufang Zhao|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、前正則代数の楕円コhomological Hall代数を用いて構成された、楕円曲線上の色付きヒルベルトスキーム上の連接層のモノイダル圏における代数的対象として、層化された楕円量子群を導入する。この群は、ナカジマのクーヴァー多様体の等化された楕円コホモロジーに作用し、動的楕円量子群の交換関係を満たすドリンフェルト電流を実現する。これは幾何的表現理論における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We define a sheafified elliptic quantum group for any symmetric Kac-Moody Lie algebra. This definition is naturally obtained from the elliptic cohomological Hall algebra of a preprojective algebra. The sheafified elliptic quantum group is an algebra object in a certain monoidal category of coherent sheaves on the colored Hilbert scheme of an elliptic curve. We show that the elliptic quantum group acts on the equivariant elliptic cohomology of Nakajima quiver varieties. This action is compatible with the action induced by Hecke correspondence, a construction similar to that of Nakajima. The elliptic Drinfeld currents are obtained as generating series of certain rational sections of the sheafified elliptic quantum group. We show that the Drinfeld currents satisfy the commutation relations of the dynamical elliptic quantum group studied by Felder and Gautam-Toledano Laredo.

研究の動機と目的

• 対称Kac-Moodyリー代数に対して、収束性の良い電流を備えた、内在的で幾何的動機付けを持つ楕円量子群を定義すること。
• クーヴァー多様体の等化された楕円コホモロジーに作用するドリンフェルト実現の楕円量子群を構成するという、長年の未解決問題を解決すること。
• 楕円曲線上の層化構造を用いた幾何的構成により、楕円量子群の最高ウェイト表現を提供すること。
• 新規に得られた作用が、楕円的設定におけるヘッケ対応構成と整合することを確立すること。

提案手法

• 楕円曲線の色付きヒルベルトスキーム上の連接層のモノイダル圏における代数的対象として、層化された楕円量子群を構成する。
• 前正則コホモロジー的ホール代数を基礎構造として用い、有理・三角関数的構成を楕円的状況に拡張する。
• ドリンフェルト電流を、層化量子群の有理型切断の生成関数として定義し、古典的楕円電流の変形を実現する。
• 留数計算およびテータ関数の恒等式を用いて、ドリンフェルト電流が動的楕円量子群の交換関係を満たすことを証明する。
• 安定な包絡線の技法を用いて、ナカジマのクーヴァー多様体の等化された楕円コホモロジーへの層化された楕円量子群の作用を確立する。
• 上昇・下降作用素がドリンフェルト双対関係を満たし、全量子群の表現を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収束性の良いドリンフェルト電流を備えた、幾何的かつ内在的な楕円量子群の定義を構成可能か？
• RQ2 前正則代数の楕円コホモロジー的ホール代数は、楕円曲線の色付きヒルベルトスキーム上に自然に層化された量子群構造をもたらすか？
• RQ3 ナカジマのクーヴァー多様体の等化された楕円コホモロジーに作用する楕円量子群の幾何的作用は、ヘッケ対応と整合的か？
• RQ4 この構成におけるドリンフェルト電流は、 Felder および Gautam-Toledano Laredo が定義した動的楕円R行列交換関係を満たすか？
• RQ5 前正則代数の表現のモジュライ空間の幾何から、量子群の作用を再構成可能か？

主な発見

• 層化された楕円量子群は、楕円曲線の色付きヒルベルトスキーム上の連接層のモノイダル圏における代数的対象として定義される。
• 層化された楕円量子群の有理型切断の空間は結合的代数をなす。これは、楕円量子群の新たな実現を提供する。
• ドリンフェルト電流は、有理型切断の生成関数として明示的に構成され、動的楕円量子群の交換関係を満たす。
• ナカジマのクーヴァー多様体の等化された楕円コホモロジーへの層化された楕円量子群の作用は、幾何的に実現され、ヘッケ対応と整合的である。
• 上昇・下降作用素はドリンフェルト双対関係を満たし、交換子はテータ関数と留数を用いて表現される。
• ドリンフェルト電流間の交換関係は明示的に計算され、$ \vartheta(\hbar)[\mathfrak{X}^{+}(u,\lambda_{1}),\mathfrak{X}^{-}(v,\lambda_{2})] = \frac{\vartheta(u-v+\lambda_{1})}{\vartheta(u-v)\vartheta(\lambda_{1})}\Phi(v) + \frac{\vartheta(u-v-\lambda_{2})}{\vartheta(u-v)\vartheta(\lambda_{2})}\Phi(u) $ と表され、[GTL17] に一致する。