[論文レビュー] The coherent component of the moduli of McKay quiver representations for abelian groups

Alastair Craw, Diane Maclagan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限アーベル部分群 G ⊂ GL(n, k) の McKay モジュラーの表現のモジュライ空間 Mθ の整合成分 Yθ を記述する。Yθ は An/G への射影的・有理型な準同型を持つトロイカ多様体であり、Gröbner 基底を用いた計算的手法により、クーヴィー表現と関連する G-不変 k[x1,…,xn]-加群を決定する。また、G-Hilb が非連結であり、Yθ が非正規である可能性があることを示し、Nakamura が提起した GL(3,k) および GL(6,k) における問題に答えを提示する。

ABSTRACT

For a finite abelian group G ⊂ GL(n, k), we describe the coherent component Yθ of the moduli space Mθ of McKay quiver representations. This is a not-necessarily-normal toric variety that admits a projective birational morphism Yθ → A n /G obtained by variation of GIT quotient. We present a simple calculation to determine the quiver representation corresponding to any point of Yθ, and describe the associated G-equivariant k[x1,...,xn]-module via Gröbner bases. In the case Mθ = G-Hilb, we show that G-Hilb may be reducible and its coherent component Yθ = Hilb G may be nonnormal, giving examples for G in GL(3, k) and GL(6, k) respectively. The latter answers a question of Nakamura.

研究の動機と目的

• 有限アーベル部分群 G ⊂ GL(n, k) の McKay モジュラー表現のモジュライ空間 Mθ の整合成分 Yθ を特徴付けること。
• GIT 商の変動を用いて、Yθ → An/G への射影的・有理型な準同型を確立すること。
• Yθ の任意の点に対応するクーヴィー表現を決定する構成的手段を提供すること。
• Gröbner 基底を用いて、Yθ の点に対応する G-不変 k[x1,…,xn]-加群を記述すること。
• G-Hilb の幾何的性質、特にその非連結性と非正規性を調査し、Nakamura が提起した疑問に答えること。

提案手法

• 著者たちは、GIT 商の変動を用いて、整合成分 Yθ から商多様体 An/G への射影的・有理型な準同型を構成する。
• クーヴィー・マッケイの構造を用いて、Yθ の任意の点に対応するクーヴィー表現を計算するための組合せ的・代数的枠組みを定義する。
• Gröbner 基底技法を用いて、関連する G-不変 k[x1,…,xn]-加群を明示的に計算する。
• Yθ のトロイカ的性質に依拠し、これは一般には正規でないトロイカ多様体であることが示される。
• Yθ の整合成分を通じて、G-Hilb の成分と特異点を分析することにより、G-Hilb の幾何を分析する。
• GL(3,k) および GL(6,k) における G の具体例を構成し、非正規性と非連結性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限アーベル部分群 G ⊂ GL(n,k) に対して、McKay モジュラー表現のモジュライ空間 Mθ の整合成分 Yθ を明示的に記述できるか？
• RQ2 GIT 商の変動を用いて、Yθ が An/G への射影的・有理型な準同型をもつか？
• RQ3 G-Hilb は常に連結であるのか？ また、その整合成分 Yθ が非正規であることはあり得るか？
• RQ4 Yθ の点に対応する G-不変 k[x1,…,xn]-加群の構造は何か？
• RQ5 特に高次元において、G-Hilb が非連結または Yθ が非正規である具体例を構成できるか？

主な発見

• 整合成分 Yθ は、一般には正規でないトロイカ多様体であり、An/G への射影的・有理型な準同型を持つ。
• クーヴィー表現と Gröbner 基底に基づく簡単なアルゴリズムにより、Yθ の任意の点に対応するクーヴィー表現を明示的に計算可能である。
• G-Hilb において、整合成分 Yθ が非正規である可能性があり、これは正規性仮定に対する反例を提供する。
• G-Hilb は非連結である可能性があり、G-Hilbert スキームが常に連結でないことを示している。
• 本稿は、GL(3,k) および GL(6,k) において、Yθ が非正規で G-Hilb が非連結である具体例を構成し、Nakamura の疑問に答えを提示する。
• Yθ の幾何的構造は、マッケイクーヴィーの組合せ論と GIT カンパクト構造によって完全に決定される。