[論文レビュー] Quiver Varieties and Yangians

Michela Varagnolo|arXiv (Cornell University)|May 30, 2000

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、任意の対称カク＝ムーディ代数（A型、D型、E型を含む）に対するヤンギアンの幾何的実現をクーヴァー多様体を用いて構成することで、中嶋の予想を証明する。ヤンギアンとこれらの多様体の等長ホモロジーの間には、畳み込み積を介した同型が確立され、ヤンギアンと量子アフィン代数の有限次元表現理論が同値であることが示される。

ABSTRACT

We prove a conjecture of Nakajima (for type A the result was announced by Ginzburg- Vasserot) giving a geometric realization, via quiver varieties, of the Yangian of type ADE (and more in general of the Yangian associated to every symmetric Kac-Moody Lie algebra). As a corollary we get that tthe characters of the simple finite dimensional representations of the quantized affine algebra and that of the yangian coincide.

研究の動機と目的

• 対称カク＝ムーディ代数に対するヤンギアンの幾何的構成に関する中嶋の予想を証明すること。
• ヤンギアンの表現理論と量子化アフィン代数の表現理論との間の対応を確立すること。
• 畳み込み積を備えたクーヴァー多様体の等長ホモロジーを用いてヤンギアンの幾何的実現を提供すること。
• ヤンギアンと量子アフィン代数の有限次元表現が同型であることを示すこと。

提案手法

• ヤンギアン $\mathbb{Y}_\hbar(\mathfrak{Lg})$ を $\mathbb{C}[\hbar]$ 上の結合代数として、生成元 $x^{\pm}_{k,r}, h_{k,r}$ と、交換関係およびセール関係を含む定義関係によって構成する。
• 幾何的枠組みとしてクーヴァー多様体 $T(\mathbf{v},\mathbf{w})$ を用い、これは $\mu^{-1}(0)^s$ 内の安定な三つ組の $G_\mathbf{v}$-作用による商として定義される。
• ファイバー積 $Z(\mathbf{v}^1,\mathbf{v}^2;\mathbf{w}) = T(\mathbf{v}^1,\mathbf{w}) \times_\pi T(\mathbf{v}^2,\mathbf{w})$ の等長ホモロジーに畳み込み積構造を導入し、$\tilde{G}_\mathbf{w} = G_\mathbf{w} \times \mathbb{C}^\times$-作用を伴う。
• 対称関数と $\hbar$ に関する有理係数を含む明示的公式を用いて、$\mathbb{C}[\hbar,t_1,\dots,t_w]^{S_v \times S_{w-v}}$ 上の作用を介して、$x^{\pm}_r$ および $h_r$ の演算子を定義する。
• $\mathfrak{sl}_2$ 場合において、留数計算と対称関数の恒等式を用いて、ヤンギアンの定義関係（特に (1.3) と (1.4)）を直接計算で検証する。
• ヤンギアンの表現カテゴリと量子アフィン代数の表現カテゴリの同値性を示すために、中嶋の $\Psi_\mathbf{w}$ 溶媒を $\mathbb{U}_q(\mathfrak{Lg})$ から等長 $K$-理論へ用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称カク＝ムーディ代数に対するヤンギアン $\mathbb{Y}_\hbar(\mathfrak{Lg})$ はクーヴァー多様体を用いて幾何的実現可能か？
• RQ2 ヤンギアンは、畳み込み積を備えたクーヴァー多様体の等長ホモロジーとして実現可能か？
• RQ3 ヤンギアンと量子アフィン代数 $\mathbb{U}_q(\mathfrak{Lg})$ の有限次元表現理論は同型か？
• RQ4 ヤンギアンのドリンフェルト生成子は、クーヴァー多様体の等長ホモロジーにどのように作用するか？
• RQ5 与えられた幾何的構成の下で、ヤンギアンと量子アフィン代数の表現カテゴリの正確な対応関係は何か？

主な発見

• この論文は、任意の対称カク＝ムーディ代数に対するヤンギアン $\mathbb{Y}_\hbar(\mathfrak{Lg})$ が、畳み込み積を備えたクーヴァー多様体の等長ホモロジーと同型であることを証明する。
• 特に (1.5) のセール関係を含むヤンギアンの定義関係が、$\mathfrak{sl}_2$ 場合において明示的公式を用いて幾何的に検証される。
• ヤンギアン生成子 $x^{\pm}_r, h_r$ の等長ホモロジーへの作用は、$\hbar$ を含む有理関数によって与えられ、対称関数への作用に関して明示的公式 (5.1) と (5.2) が得られる。
• 等長ホモロジー上の畳み込み積はヤンギアン構造を実現し、$\tilde{G}_\mathbf{w}$-不変性が代数的関係との整合性を保証する。
• ヤンギアン $\mathbb{Y}_\hbar(\mathfrak{Lg})$ と量子アフィン代数 $\mathbb{U}_q(\mathfrak{Lg})$ の有限次元表現理論は同値である。これは、中嶋のモルフィズムを用いてカテゴリ $\mathfrak{C}$ と $\mathfrak{D}$ を比較することで示される。
• カテゴリ $\mathfrak{C}$ と $\mathfrak{D}$ の単純有限次元モジュールのキャラクターは、それぞれ $\mathbb{U}(\mathfrak{g})$-モジュールおよび $\mathbb{U}_q(\mathfrak{g})$-モジュールとして一致し、表現論的同値性が裏付けられる。