[論文レビュー] Generators for Coulomb branches of quiver gauge theories

Alex Weekes|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、3次元 $\mathcal{N}=4$ クイバーゲージ理論の量子化されたクーロン分岐が、変形パrameter $\hbar=1$ のとき、切断されたずらしヤンギアンと同型であることを確立している。有限ADE型では、この同型は $\mathbb{C}[\hbar]$ 上の順次的同型へ拡張可能である。また、代数的構造とカテゴリフィケーションされた構造を用いて、この代数が装飾された最小単位モノポール演算子によって生成されることを証明し、クーロン分岐の完全な代数的記述が得られた。

ABSTRACT

We study the Coulomb branches of $3d$ $\mathcal{N}=4$ quiver gauge theories, focusing on the generators for their quantized coordinate rings. We show that there is a surjective map from a shifted Yangian onto the quantized Coulomb branch, once the deformation parameter is set to $\hbar =1$. In finite ADE type, this extends to a surjection over $\mathbb{C}[\hbar]$. We also show that these algebras are generated by the dressed minuscule monopole operators, for an arbitrary quiver (this is similar to the proof of Theorem 4.29 in arXiv:1811.12137). Finally, we describe how the KLR Yangian algebra from arXiv:1806.07519 is related to Webster's extended BFN category. This paper provides proofs for two results which were announced in arXiv:1806.07519.

研究の動機と目的

• 3次元 $\mathcal{N}=4$ クイバーゲージ理論の量子化されたクーロン分岐の完全な代数的記述を提供すること。
• ずらしヤンギアンから量子化されたクーロン分岐への上への写像を確立し、有限ADE型では同型が成り立つこと。
• 任意のクイバーに対して、クーロン分岐が装飾された最小単位モノポール演算子によって生成されることを証明すること。
• [KTW+18] のKLRヤンギアンとウェブスターズの拡張されたBFNカテゴリとの関係を、カテゴリカルおよび代数的構造を通じて明らかにすること。

提案手法

• BFN構成を用いてクーロン分岐を畳み込み代数として定義し、$\mathbb{C}[\hbar]$ 上の変形量子化を得る。
• リース代数構成を適用して、有限ADE型において $\hbar=1$ の同型を $\mathbb{C}[\hbar]$ 上の順次的同型へ上げる。
• 代数の図式 $\mathcal{A}^{\mathsf{sph}} \to \mathcal{A} \leftarrow \mathcal{A}^{\mathsf{ab}}$ を構成し、クーロン分岐とカテゴリフィケーションされた構造を関連付ける。
• 図式的基底を用いて、KLR代数 $\mathscr{B}^\mathbf{v}$ とずらしヤンギアン $Y_\mu^\lambda$ の多項式表現を比較する。
• ワイル群における最小長のパスを用いて、射空間の基底を定義し、ヤンギアンの図式的生成子と一致させる。
• シリンダ型KLR図式による生成子像の一致を用いて、$Y_\mu^\lambda$、$\mathsf{e} \reflectbox{\rm R}_{\hbar=1} \mathsf{e}$、および $\mathcal{A}^{\mathsf{sph}}_{\hbar=1}$ を含む図式の可換性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元 $\mathcal{N}=4$ クイバーゲージ理論の量子化されたクーロン分岐は、$\hbar=1$ のとき、切断されたずらしヤンギアンと同型であるか？
• RQ2 この同型は、有限ADE型において $\mathbb{C}[\hbar]$ 上の順次的同型へ拡張可能か？
• RQ3 任意のクイバーに対して、装飾された最小単位モノポール演算子は、量子化されたクーロン分岐代数全体を生成するのに十分か？
• RQ4 [KTW+18] のKLRヤンギアン代数は、クーロン分岐の文脈でウェブスターズの拡張されたBFNカテゴリとどのように関係しているか？

主な発見

• $\mathbb{C}$-代数同型 $Y_\mu^\lambda \cong \mathcal{A}^{\mathsf{sph}}_{\hbar=1}$ が存在し、クーロン分岐が多項式環 $H_{\mathbf{G}}^\ast(pt)$ と装飾された最小単位モノポール演算子によって生成されることを証明する。
• 有限ADE型では、$\mathbb{C}[\hbar]$-代数の順次的同型 $\mathbf{Y}_\mu^\lambda \cong \mathcal{A}^{\mathsf{sph}}$ が存在し、$\hbar=1$ の結果を完全な変形へ拡張する。
• 有限ADE型では、クーロン分岐の座標環が、装飾された最小単位モノポール演算子 $M_{\varpi_{i,1},f}$ および $M_{\varpi_{i,1}^*,f}$ によってポisson的に生成される。
• $Y_\mu^\lambda \to \mathsf{e} \reflectbox{\rm R}_{\hbar=1} \mathsf{e}$ の写像は同型であり、[KTW+18, Theorem 4.19] の証明を完了する。
• $\mathcal{A}^{\mathsf{sph}}$ と $\mathsf{e} \mathcal{A} \mathsf{e}$ の同型は、カテゴリ $\mathscr{B}^\mathbf{v}$ を通じて確立され、クーロン分岐とカテゴリカル構造を結びつける。
• ヤンギアン生成子 $F_i^{(r)}$ の像は、自己準同型 $\partial_{i,\mathbf{v}_i} \cdots \partial_{i,2} z_1^{r-1} r_{\boldsymbol{\lambda}} \mathsf{e}$ に一致し、シリンダ型KLR図式の像と一致する。