[論文レビュー] Quotient Stacks and String Orbifolds

Eric Sharpe|ArXiv.org|Mar 1, 2001

Natural Language Processing Techniques参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ストリングオルビフォールドが商空間 $X/\Gamma$ 上の compactification ではなく、商スタック $[X/\Gamma]$ 上の compactification であると主張している。このスタックはそのインert性スタックを通じてねじれセクターを幾何的に表現する。主な結果は、全分割関数がねじれセクターの和として得られることが、自然にスタックへの写像の和として現れることであり、これにより、これまで「ストリング的」と見なされてきた特徴が幾何的解釈を受ける。

ABSTRACT

In this short review we outline some recent developments in understanding string orbifolds. In particular, we outline the recent observation that string orbifolds do not precisely describe string propagation on quotient spaces, but rather are literally sigma models on objects called quotient stacks, which are closely related to (but not quite the same as) quotient spaces. We show how this is an immediate consequence of definitions, and also how this explains a number of features of string orbifolds, from the fact that the CFT is well-behaved to orbifold Euler characteristics. Put another way, many features of string orbifolds previously considered ``stringy'' are now understood as coming from the target-space geometry; one merely needs to identify the correct target-space geometry.

研究の動機と目的

• ストリングオルビフォールドを商空間上の compactification として解釈する長年の曖昧さを解消すること。
• ストリングオルビフォールドの物理的データ（ねじれセクター、分割関数など）が、特異的である商空間ではなく、商スタック上の幾何から生じることを確立すること。
• グローバル商スタックの非自明な例としてストリングオルビフォールドを用いることで、一般化された空間（特にスタック）上のストリング compactification を理解する基盤を築くこと。
• ストリングオルビフォールドの物理的特徴（ねじれ場、オルビフォールド・オイラー特徴など）を、商スタックの微分幾何と結びつけること。
• モジュライ空間やM理論の compactification といったストリング理論の構成を、スタック幾何の言語に再解釈するプログラムを開始すること。

提案手法

• 群作用を被覆空間に持ち、特異点に追加の幾何的構造を備えた一般化された空間として、商スタック $[X/\Gamma]$ を定義する。
• ねじれセクターの和を含むストリングオルビフォールドの分割関数が、商スタック $[X/\Gamma]$ への写像の和と等価であることを示す。
• スタック上のシグマモデルの古典的作用を構成し、グローバル商スタックの場合に標準的なストリングオルビフォールド作用に還元されることを示す。
• インナーシャック $I_{[X/\Gamma]} \cong \coprod_{[g]} [X^g / C(g)]$ を用いて、ねじれ場とねじれセクターを幾何的に実現する。
• オルビフォールド・オイラー特徴 $\chi_{\text{orb}}(X,\Gamma) = \sum_{[g]} \chi(X^g / C(g))$ が、インナーシャックの構造から自然に生じることを示す。
• ストリングオルビフォールドの変形理論は、商空間ではなく商スタックの変形理論に基づいて定式化されなければならないと提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜストリングオルビフォールドは、商空間 $X/\Gamma$ の特異性にもかかわらず、良好な conformal field theory を示すのか？
• RQ2 ストリングオルビフォールドにおけるねじれセクター構造の背後にある幾何的対象は何か？ そして、これは商空間とはどのように異なるのか？
• RQ3 ストリングオルビフォールドの分割関数は、スタックのような一般化された空間への写像の和として自然に解釈できるか？
• RQ4 商スタックのインナーシャックは、ねじれ場やねじれセクターの物理的データをどのように符号化するのか？
• RQ5 ストリングオルビフォールドが商空間ではなく商スタック上の compactification であるならば、モジュライ空間の構成やM理論の compactification にどのような影響があるのか？

主な発見

• ストリングオルビフォールドの分割関数は、数学的に商スタック $[X/\Gamma]$ への写像の和と等価であり、ねじれセクターの和の起源を説明する。
• インナーシャック $I_{[X/\Gamma]}$ は $\coprod_{[g]} [X^g / C(g)]$ に同型であり、これがねじれセクターを直接符号化し、オルビフォールド・オイラー特徴を再現する。
• これまで「ストリング的」と見なされてきた特徴（ねじれ場の存在、良好な CFT の振る舞いなど）が、今や商スタックの標的空間幾何から幾何的説明を受ける。
• ストリングオルビフォールド CFT の変形理論は、特異的である商空間ではなく、商スタックの変形理論に基づいて再定式化されなければならない。
• この枠組みは、M理論のオルビフォールドが商スタック上の compactification として一貫して定義可能であり、ホラヴァ＝ウィッテン理論におけるE8多重項の出現を幾何的に説明する可能性を示唆する。
• 本研究は、グローバル商スタックを超えるより一般のスタック上のストリング compactification を研究する基盤を提供する。