[論文レビュー] Resolution of Orbifold Singularities in String Theory

Paul S. Aspinwall|ArXiv.org|Mar 21, 1994

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 55

ひとこと要約

この論文は、鏡映性とトーリック幾何学を用いて、アーベル商空間 𝕔²/ℤₙ に対する吹き上げ過程を分析することで、弦理論における軌道特異点の解消と N=(2,2) スーパーレイノルム場理論のモジュライ空間との間の対応を確立する。Kählerモジュライをねじれ場の言語で正確に表現し、例外的除集合のサイズが n に従って増加することを示し、Calabi-Yau位相が n に依存する臨界半径で特異的になることを明らかにする。

ABSTRACT

In this paper the relationship between the classical description of the resolution of quotient singularities and the string picture is reviewed in the context of N=(2,2) superconformal field theories. A method for the analysis of quotients locally of the form C^d/G where G is abelian is presented. Methods derived from mirror symmetry are used to study the moduli space of the blowing-up process. The case C^2/Z_n is analyzed explicitly. This is largely a review paper to appear in "Essays on Mirror Manifolds, II".

研究の動機と目的

• 弦理論が古典的吹き上げが行われる前でも、軌道特異点の解消をどのように符号化しているかを理解すること。
• 軌道特異点解消の古典的幾何学と、N=(2,2) スーパーレイノルム場理論の量子的（弦的）幾何学とを結びつけること。
• アーベル商特異点 𝕔ᵈ/G の吹き上げ過程のモジュライ空間を、鏡映性的手法を用いて分析すること。
• ℂ²/ℤₙ の場合に、Kählerモジュライをねじれ場の言語で明示的な場理論的記述すること。
• 解消幾何における例外的除集合の物理的サイズが n の関数としてどのように依存するかを特定すること。

提案手法

• ℂ²/ℤₙ 特異点の解消を、特定の超ポテンシャルを持つ Landau-Ginzburg モデルに鏡映性を用いて写像する。
• トーリック幾何におけるファングのスターサブディビジョンを用いて、逐次的な吹き上げを記述し、それぞれが1つの特異点を解消し、ℙ¹ の例外的除集合を生成する。
• Kähler形式 (B+iJ)₁ を Γ 関数と超幾何級数を含む積分変換として導出し、収束領域が異なる場合に有効であることを示す。
• 文字 z = ψ⁻ⁿ を用いて、ストリングカップリング ψ を介して Kählerモジュールを表現することで、位相を越えた解析接続を可能にする。
• n=2 の閉形式表現を用いて一般枠組みを検証し、n>2 の場合と比較する。
• 位相遷移点 z=(n−1)ⁿ⁻¹/nⁿ における Kählerモジュールを評価し、例外的除集合のサイズを決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弦理論は、古典的吹き上げが行われる前でも、軌道特異点の解消をどのように符号化しているのか？
• RQ2 ℂ²/ℤₙ の文脈において、N=(2,2) SCFT の Kählerモジュライ空間の明確な場理論的実現は何か？
• RQ3 解消幾何における例外的除集合のサイズは、ℤₙ 群作用の位数 n にどのように依存するか？
• RQ4 軌道 CFT のねじれセクターにおける Kählerモジュールの解析的構造は何か？
• RQ5 オルビフォールド位相と Calabi-Yau 位相の間の遷移は、モジュライ空間においてどのように現れるか？

主な発見

• ℂ²/ℤₙ オルビフォールドの Kählerモジュール (B+iJ)₁ は、|z| < (n−1)ⁿ⁻¹/nⁿ の範囲で有効な超幾何級数展開として与えられる。
• ψ が小さいとき、Kählerモジュールは (B+iJ)₁ = −1/2 + (1/2π)e^{(1/2+1/n)πi}ψ + O(ψ²) と振る舞い、n に依存する位相シフトを示す。
• 位相遷移点 z = (n−1)ⁿ⁻¹/nⁿ において、B フィールドは消える（B₁=0）、Kähler形式 J₁ は n=2 で 0、n=3 で 0.11、n=4 で 0.18、n=5 で 0.22 をとる。
• n=2 の場合、Calabi-Yau 位相は ψ=0 まで延長され、オルビフォールド理論と解消理論の差は B フィールドのみである。n>2 の場合、特異理論における例外的除集合は有限サイズを有する。
• 例外的除集合のサイズは n と共に増加し、高次の軌道特異点では特異極限におけるより大きな量子補正を持つことを示唆する。
• 本手法は、スターサブディビジョンの逐次的適用とねじれ場解析を用いて、ℂ²/ℤₙ の Hirzebruch-Jung 解消鎖（ℙ¹ の連鎖）を正確に再現できた。