[論文レビュー] Quotients of the conifold in compact Calabi-Yau threefolds, and new topological transitions

Rhys Davies|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多重連結なカラビ＝ユウ3次元多様体のモジュライ空間におけるcodimension-oneな領域として、有限群によるコンパクト化されたコンパクト・コンダクト（hyperconifold singularities）— すなわち、コンパクト・コンダクトの商空間—を導入する。これらの特異点をトーリック法により解消することで、異なるホッジ数と基本群を有する新しいコンパクトなカラビ＝ユウ多様体が構成され、ホッジ数と基本群のトポロジー的変化を含む、コンパクト・コンダクト遷移の一般化がなされる。

ABSTRACT

The moduli space of multiply-connected Calabi-Yau threefolds is shown to contain codimension-one loci on which the corresponding variety develops a certain type of hyperquotient singularity. These have local descriptions as discrete quotients of the conifold, and are referred to here as hyperconifolds. In many (or possibly all) cases such a singularity can be resolved to yield a distinct compact Calabi-Yau manifold. These considerations therefore provide a method for embedding an interesting class of singularities in compact Calabi-Yau varieties, and for constructing new Calabi-Yau manifolds. It is unclear whether the transitions described can be realised in string theory.

研究の動機と目的

• 非自明な基本群を有するコンパクトなカラビ＝ユウ3次元多様体において、コンパクト・コンパクトの有限群による商として生じる、新しい特異点クラス—ハイパーコンダクト—を同定し、特徴づけること。
• これらの特異点が、多重連結カラビ＝ユウ多様体のモジュライ空間において一般にcodimension-oneな領域に現れることを示すこと。
• これらの特異点がトーリック幾何学を用いて解消可能であり、その結果、異なるトポロジカル不変量を有する新しいコンパクトなカラビ＝ユウ多様体が得られることを示すこと。
• ホッジ数と基本群が両方変化する、コンパクト・コンダクト遷移およびフロップ遷移の一般化である、新しいタイプのトポロジカル遷移—ハイパーコンダクト遷移—を提唱すること。

提案手法

• トーリック幾何学を用いて、ℤₙのような有限アーベル群によるコンパクト・コンパクトの商として、ハイパーコンダクト特異点の局所的モデルを構成する。
• 特異点の解消は、明示的なファイアと最高次元のコーンを用いて行われ、床下的かつケーラー的解消が保証される。
• この手法では、固定点を生じる自由群作用を持つ滑らかなカラビ＝ユウ多様体の変形を分析し、それらがハイパーコンダクト特異点に至ることを扱う。
• 解消された多様体のホッジ数とベッチ数は、特にその例外的集合のオイラー特性に依存するトポロジカル不変量を用いて計算される。
• 具体的な例としてℤ₅、ℤ₂ₘ、ℤ₃ハイパーコンダクトに適用され、m=2から5のℤ₂ₘに対して明示的なファイアが導出されている。
• 本稿では、χ(Ê) = 2N および χ(X̂) = χ(X) + 2N を用いて解消された多様体のオイラー特性を計算し、b₃(Ê) = b₃(X) − 2 および b₂(Ê) = b₂(X) + N − 1 を用いてベッチ数の変化を導出している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群によるコンパクト・コンパクトの商として生じるハイパーコンダクト特異点は、多重連結カラビ＝ユウ3次元多様体のモジュライ空間において一般に出現するか？
• RQ2 これらの特異点は、カラビ＝ユウ条件を全球的に保つケーラー的床下的解消を有するか？
• RQ3 標準的なコンパクト・コンダクト遷移と比較して、解消過程におけるホッジ数と基本群はどのように変化するか？
• RQ4 特にねじれセクターと新しい平坦な自由度を介して、ハイパーコンダクト遷移に一貫した場の理論的解釈が可能か？
• RQ5 解消のトーリックデータから、解消されたカラビ＝ユウ多様体のトポロジカル不変量を体系的に計算できるか？

主な発見

• ℤₙハイパーコンダクトの解消により、N−1個の新しい除集合クラスが導入され、ベッチ数に変化が生じる：b₂(Ê) = b₂(X) + N − 1 および b₃(Ê) = b₃(X) − 2。
• 解消の例外的集合 E はオイラー特性 χ(E) = 2N を有し、これはトーリックファイの最高次元のコーンの数から導出される。
• 解消された多様体 Ê は simply connected であるが、元の滑らかなカラビ＝ユウ多様体 X は基本群 ℤₙ を有していたため、π₁におけるトポロジカルな変化が生じている。
• 解消されたカラビ＝ユウ多様体のオイラー特性は、χ(Ê) = χ(X) + 2N を満たし、特異点を持つ X₀ から解消された多様体へのトポロジカル遷移を反映している。
• m=2から5のℤ₂ₘハイパーコンダクトに対して、明示的なファイアがケーラー的床下的解消の観点から構築され、トーリック幾何学と整合していることが確認されている。
• 本稿では、ℤ₃およびℤ₅ハイパーコンダクトに対してもケーラー的床下的解消が存在すると予想されており、明示的に計算されたケースを超えてこの手法が拡張可能であることが示唆されている。