[論文レビュー] Rényi Divergence and $L_p$-affine surface area for convex bodies

Elisabeth M. Werner|arXiv (Cornell University)|May 5, 2011

Point processes and geometric inequalities参考文献 45被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、凸体の $L_p$-アフィン表面積が、体とその極のコーン測度間のリーマンダイバージェンスの指数関数であることを示すことにより、凸幾何学と情報理論の間に深い接続を確立する。先行研究が対称性や強い滑らかさを仮定するのに対し、本手法は一次近似のみを用いることで、すべてのリーマンダイバージェンス $D_\alpha$ に対して幾何的解釈を可能にし、$L_p$-重心体に基づく従来の手法よりも細かな境界の詳細を明らかにする。

ABSTRACT

We show that the fundamental objects of the $L_p$-Brunn-Minkowski theory, namely the $L_p$-affine surface areas for a convex body, are closely related to information theory: they are exponentials of Rényi divergences of the cone measures of a convex body and its polar. We give geometric interpretations for all Rényi divergences $D_α$, not just for the previously treated special case of relative entropy which is the case $α=1$. Now, no symmetry assumptions are needed and, if at all, only very weak regularity assumptions are required. Previously, the relative entropies appeared only after performing second order expansions of certain expressions. Now already first order expansions makes them appear. Thus, in the new approach we detect "faster" details about the boundary of a convex body.

研究の動機と目的

• 凸幾何学における $L_p$-アフィン表面積と情報理論におけるリーマンダイバージェンスの根本的関係を確立すること。
• 対称性や $C^2_+$ の滑らかさを仮定せず、$\alpha=1$（相対エントロピー）の特殊ケースにとどまらず、すべての $\alpha$ に対してリーマンダイバージェンス $D_\alpha$ の幾何的解釈を提供すること。
• 表面体や照明表面体の一次近似が、従来の手法が二次近似を必要としたのとは異なり、リーマンダイバージェンスの情報をすでに明らかにできることを示すこと。
• 非対称な体や弱い正則性条件にまで拡張された $\Omega_K$ や $\mathcal{A}_K$ のようなアフィン不変量の先行結果を一般化・精緻化すること。

提案手法

• すべての $\alpha > 0$, $\alpha \neq 1$ に対して、凸体 $K$ 及びその極 $K^\circ$ のコーン測度間のリーマンダイバージェンス $D_\alpha$ を定義する。
• $L_p$-アフィン表面積および混合 $p$-アフィン表面積が、特定の $\alpha = \frac{p}{n+p}$ 及び $\alpha = \frac{n}{n+p}$ に対してリーマンダイバージェンス $D_\alpha$ の指数関数に等しいことを示す。
• $K$ とその表面体 $K_{f,s}$ 間の体積差の一次近似を用いてリーマンダイバージェンスの情報を抽出し、従来の研究で必要とされた二次近似を回避する。
• 表面体および照明表面体を、$s \to 0$ のときの体積減少率を通じてリーマンダイバージェンスを解釈する幾何的道具として導入する。
• 一次体積近似とリーマンダイバージェンスを用いて、アフィン不変量 $\Omega_K$ 及び $\mathcal{A}_K$ の新しい幾何的解釈を確立する。
• $L_p$-重心体に関する既知の結果を活用し、二次近似を一次近似に置き換えることで、正則性要件を軽減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸体 $K$ 及びその極のコーン測度間のリーマンダイバージェンスと $L_p$-アフィン表面積とは、どのように関係しているか？
• RQ2 対称性や $C^2_+$ の滑らかさの仮定なしに、すべての $\alpha$ に対してリーマンダイバージェンス $D_\alpha$ の幾何的解釈を与えることは可能か？
• RQ3 なぜ表面体の一次近似がリーマンダイバージェンスの情報を明らかにするのか？ 一方、従来の $L_p$-重心体理論では二次近似が必要であったのはなぜか？
• RQ4 $\Omega_K$ 及び $\mathcal{A}_K$ のアフィン不変量は、リーマンダイバージェンスおよび表面体の体積展開とどのように関係しているか？
• RQ5 弱い正則性仮定のもとで、非対称な凸体に対してもリーマンダイバージェンスの幾何的解釈を拡張することは可能か？

主な発見

• $K$ の $L_p$-アフィン表面積は、$K$ 及びその極のコーン測度を表す $P_K$ と $Q_K$ を用いて、$\exp\left(-\frac{p}{n+p} D_{\frac{p}{n+p}}(P_K \| Q_K)\right)$ に等しい。
• すべての $\alpha > 0$, $\alpha \neq 1$ に対して、リーマンダイバージェンス $D_\alpha$ の幾何的解釈が、対称性や $C^2_+$ の仮定なしに確立された。
• $K$ とその表面体 $K_{f,s}$ 間の体積差の一次近似により、リーマンダイバージェンスの情報が得られ、$L_p$-重心体理論で用いられた二次近似よりも細かな境界の詳細が明らかにされた。
• アフィン不変量 $\Omega_K$ は、$\exp\left(-D_{KL}(P_K \| Q_K)\right) \cdot \frac{|K|}{|K^\circ|}$ として幾何的に解釈され、弱い滑らかさのもとで非対称な $K$ に対しても新しい解釈が有効である。
• $K \in C^2_+$ のとき、体積減少率 $\lim_{s \to 0} \frac{|K| - |K_{f,s}|}{s^{2/(n-1)}}$ が、$c_n \cdot \text{Exp}(-\frac{p}{n+p} D_{\frac{p}{n+p}}(P_K \times \cdots \times P_K \| Q_K \times \cdots \times Q_K))$ を通じてリーマンダイバージェンスと関係していることが示された。
• $\mathcal{A}_K$ は $\Omega_K^{1/n} = \mathcal{A}_{K^\circ}$ を満たし、表面体の一次体積近似を通じて幾何的意味が回復され、非対称な体にまで以前の結果が拡張された。