[論文レビュー] Rademacher complexity of noisy quantum circuits

Kaifeng Bu, Dax Enshan Koh+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、混合ユニタリノイズモデル（例えばデポラライジングおよびデコherenceチャネル）を用いた量子回路におけるノイズの影響が、ラデマッハ複雑度に与える影響を分析している。ノイズのない回路の複雑度と回路のフリー・ロバストネスに依存する、ノイズ付き回路のラデマッハ複雑度の下界を導出しており、ノイズがラデマッハ複雑度を普遍的に低下させることを示しており、これはNISQデバイスにおける量子機械学習モデルの一般化能力を制限することを意味する。

ABSTRACT

Noise in quantum systems is a major obstacle to implementing many quantum algorithms on large quantum circuits. In this work, we study the effects of noise on the Rademacher complexity of quantum circuits, which is a measure of statistical complexity that quantifies the richness of classes of functions generated by these circuits. We consider noise models that are represented by convex combinations of unitary channels and provide both upper and lower bounds for the Rademacher complexities of quantum circuits characterized by these noise models. In particular, we find a lower bound for the Rademacher complexity of noisy quantum circuits that depends on the Rademacher complexity of the corresponding noiseless quantum circuit as well as the free robustness of the circuit. Our results show that the Rademacher complexity of quantum circuits decreases with the increase in noise.

研究の動機と目的

• 近い将来の量子デバイスにおけるノイズが、特に量子機械学習の文脈において、量子回路の統計的複雑度に与える影響を理解すること。
• これまでのラデマッハ複雑度の分析が、ノイズのない量子回路に限定されていたというギャップを埋めること。
• ノイズがラデマッハ複雑度に与える影響を、一般化誤差の境界にどのように及ぼすかを分析することで、量子機械学習モデルの一般化誤差境界に与えるノイズの影響を定量化すること。
• 混合ユニタリノイズモデル下でのノイズ付き量子回路のラデマッハ複雑度に対して、上界および下界の理論的境界を確立すること。
• 複雑度の低下を回路のフリー・ロバストネスと関連づけ、ノイズ耐性のリソース理論的解釈を提供すること。

提案手法

• ノイズを混合ユニタリチャネル、すなわちユニタリ操作の凸結合としてモデル化し、デポラライジングおよびデコherenceチャネルを含む。
• ノイズチャネルの可逆性を特徴付ける回復写像の概念を用い、ラデマッハ複雑度の境界を導出する。
• 量子チャネルのフリー・ロバストネスを、ノイズ耐性の尺度として用い、ラデマッハ複雑度の下界と関連付ける。
• 回復写像のベクトル化された1ノルムの逆数 $\|\vec{v}(\mathcal{E}_R)\|_1^{-1}$ を用いて、ノイズ付き回路のラデマッハ複雑度の下界を導出する。
• 異なるノイズレベルにおける回路のラデマッハ複雑度の間の再帰的関係を確立し、ノイズの増加に伴い複雑度が減少することを示す。
• 資源パラメータが有界な構造的量子回路にこれらの境界を適用し、回路複雑度を制御するために $\vec{\mu}_{1,\infty}$-ノルムを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合ユニタリチャネルとしてモデル化されたノイズが、量子回路のラデマッハ複雑度にどのように影響を与えるか？
• RQ2 ノイズのない回路の複雑度とノイズ耐性の尺度を用いて、ノイズ付き量子回路のラデマッハ複雑度の下界を表現できるか？
• RQ3 量子チャネルのフリー・ロバストネスが、量子回路の統計的複雑度のノイズ耐性を決定する役割を果たすか？
• RQ4 デポラライジングおよびデコherenceチャネルなどの特定のノイズモデルが、量子回路のラデマッハ複雑度にどのように定量的に影響を与えるか？
• RQ5 ノイズチャネルに対して回復写像が存在する場合、その回復写像に基づくラデマッハ複雑度の下界は、一般の境界よりも改善されるか？

主な発見

• ノイズ付き量子回路のラデマッハ複雑度は、常にそれに対応するノイズのない回路のラデマッハ複雑度以下に有界であり、ノイズによって統計的複雑度が低下していることを示している。
• ノイズのない回路の複雑度とチャネルのフリー・ロバストネスに依存する、ノイズ付き回路の非自明なラデマッハ複雑度の下界が導出された。
• デポラライジングチャネルの場合、ラデマッハ複雑度の下界は $1 - 6\epsilon$ に比例し、$\epsilon$ がノイズ強度であるため、ノイズが強くなるほど顕著に低下することが示された。
• 回復写像の1ノルムのベクトル化を用いた境界は、一般の境界よりもきついものであり、特に $\|\vec{v}(\mathcal{E}_R)\|_1^{-1} \geq \frac{1-4\epsilon}{1+2\epsilon}$ が成り立つデポラライジングチャネルでは顕著である。
• デコherenceチャネルの場合、回復写像に基づく境界は一般の境界と一致しており、これはフリー・ロバストネスの尺度が、この場合の最悪のノイズ影響を的確に捉えていることを示している。
• 資源パラメータが有界な構造的ノイズ付き回路のラデマッハ複雑度は、$\prod_{ij}\left(\frac{1-4\epsilon_{ij}}{1+2\epsilon_{ij}}\right)^{n_{ij}} R_S(\mathcal{F} \circ \mathcal{C}^{\mathcal{A}}_{\vec{\mu}_{1,\infty} \leq \vec{\mu}}) \leq R_S(\mathcal{F} \circ \mathcal{C}^{\mathcal{A},\text{noisy}}_{\vec{\mu}_{1,\infty} \leq \vec{\mu}})$ を満たし、ノイズ強度と出力キュービット数に応じた乗法的劣化が生じることを示している。