[論文レビュー] Rademacher Sums and Rademacher Series

Miranda C. N. Cheng, John F. R. Duncan|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、収束しない場合を含め、特にモジュラー形式およびモックモジュラー形式を構成するための道具として、ラデマッハ和およびラデマッハ級数を導入する。非絶対収束するポアンカーレ級数の一般化された正則化手法を確立し、ラデマッハ級数を用いて明示的なフーリエ係数の公式を導出し、双対重みのモックモジュラー形式の係数間に普遍的なザジエール双対性を明らかにする。応用は、モダンス月光およびアンブル月光に及び、弦理論における物理的解釈を含む。

ABSTRACT

We exposit the construction of Rademacher sums in arbitrary weights and describe their relationship to mock modular forms. We introduce the notion of Rademacher series and describe several applications, including the determination of coefficients of Rademacher sums and a very general form of Zagier duality. We then review the application of Rademacher sums and series to moonshine both monstrous and umbral and highlight several open problems. We conclude with a discussion of the interpretation of Rademacher sums in physics.

研究の動機と目的

• 標準的収束が失敗する低重みにおけるポアンカーレ級数の正則化手順の開発。
• ラデマッハ級数を、モジュラー形式およびモックモジュラー形式のフーリエ係数を符号化する2次元グリッドとして定義すること。
• 双対重みにおけるモックモジュラー形式の係数間に一般化されたザジエール双対性を確立すること。
• ラデマッハ和および級数を、モダンス月光およびアンブル月光の研究に応用すること。
• ラデマッハ和の弦理論およびコンformal field theoryにおける物理的解釈の探求。

提案手法

• ラデマッハのj-不変量に関する研究にインspiredされ、有界パラメータを持つ剰余類代表元の極限和を用いた、非絶対収束するポアンカーレ級数の正則化。
• 重み $w=2k$ および指数関数的入力 $f(\tau) = e(m\tau)$ を持つ、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 内の安定化部分群 $\Gamma_{\infty}$ の剰余類に対する正則化和としてのラデマッハ和の構成。
• ラデマッハ和の係数から導かれる2次元配列としてのラデマッハ級数の導入。モジュラー形式のアイヘラー積分との関係を含む。
• 解析的枠組みにおいて、不完全ガンマ関数 $\gamma(s,x)$、変形ベッセル関数 $I_\alpha(z)$、デデキンドエータ関数 $\eta(\tau)$ などの特殊関数の使用。
• 条件収束を低重みケースで取り扱うために、リプシッツ和公式および $s=1$ への拡張の応用。
• 変換性およびモジュラー性を記述するためのアペル＝レルヒ和 $\mu(\tau,z)$ およびジャコビシータ関数の使用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的和が収束しない重みにおいて、ポアンカーレ級数をどのように正則化できるか？
• RQ2 ラデマッハ和のフーリエ係数の構造は何か？ そして、どのように級数形式で表現できるか？
• RQ3 ラデマッハ級数は、アイヘラー積分および双対重みのモックモジュラー形式の情報をどのように符号化するか？
• RQ4 ラデマッハ級数によって明らかにされた一般化されたザジエール双対性の性質は何か？
• RQ5 ラデマッハ和は、モダンス月光およびアンブル月光を含む月光現象の構成および理解にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿は、ラデマッハ和が重み $w=0$ においてポアンカーレ級数を正則化することを確立し、ラデマッハが元々 $j$-不変量を条件収束和として構成したのを拡張している。
• 重み $w \leq 2$ において、ラデマッハ和は条件収束し、モックモジュラー形式を定義する。このとき、重み $w$ の作用は重み $2-w$ のモジュラー形式によりねじれられる。
• ラデマッハ和の係数は、2次元グリッドとしての値の集合であるラデマッハ級数によって表現され、その半分は和の係数に対応し、残りの半分はモジュラー形式のアイヘラー積分に対応する。
• 普遍的なザジエール双対性が証明された：双対重みにおける2つのモックモジュラー形式の家族の係数は、符号を除き一致し、ラデマッハ級数に符号化されている。
• この構成は、モダンス月光に適用され、ラデマッハ和がモンスター群の重み付きトレースを回復する。また、アンブル月光に対しても、マチュー群の場合のフレームワークを提供する。
• 物理的解釈が提示され、ラデマッハ和が弦理論における分配関数およびブラックホールのエントロピーと関連しているとされ、特にそのモジュラー性およびBPS状態との関係を通じて。