[論文レビュー] Radius of Starlikeness for Classes of Analytic Functions

Kanika Khatter, See Keong Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2020

Analytic and geometric function theory参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、関数 $ g $ に対して $ \operatorname{Re}\left(\frac{1-z^2}{z}g(z)\right) > 0 $ を満たすことを条件に、単位円板上での解析関数の3つのクラスの正確な星型的半径を決定する。係数推定と劣微分原理を用いて、星型的順序 $ \alpha $、レミニスケート星型的、放物型星型的、指数的星型的など、他のクラスを含む部分クラスの鋭鋭な半径を導出し、各半径について明示的な公式と数値値を提示。これらは極値関数によって検証されている。

ABSTRACT

We consider normalized analytic function $f$ on the open unit disk for which either $\operatorname{Re} f(z)/g(z)>0$, $|f(z) /g(z) - 1|<1$ or $\operatorname{Re} (1-z^2) f(z) /z>0$ for some analytic function $g$ with $\operatorname{Re} (1-z^2) g(z) /z>0$. We have obtained the radii for these functions to belong to various subclasses of starlike functions. The subclasses considered include the classes of starlike functions of order $α$, lemniscate starlike functions and parabolic starlike functions.

研究の動機と目的

• 関数 $ f \in \mathcal{K}_1, \mathcal{K}_2, \mathcal{K}_3 $ に対して、すべての $ 0 < r \leq \rho $ に対して $ f_r(z) = f(rz)/r $ が星型関数のさまざまな部分クラスに属するような最大半径 $ \rho \leq 1 $ を特定すること。
• 関数 $ g $ が特定の実部条件を満たす場合に、$ f(z)/g(z) $ や $ (1-z^2)f(z)/z $ を用いて定義されるクラスを考察することで、従来の半径結果を拡張すること。
• 星型関数の代表的な部分クラス、$ \mathcal{S}^*(\alpha) $、$ \mathcal{S}_L^* $、$ \mathcal{S}_e^* $、$ \mathcal{S}_{RL}^* $、$ \mathcal{S}_c^* $、$ \mathcal{S}_{\leftmoon}^* $、$ \mathcal{S}_R^* $ に対して、与えられた関数クラスのもとで鋭鋭な半径を計算すること。
• 極値関数 $ f_3(z) = z/(1 - z^4) $ を用いて、得られた半径の鋭鋭さを検証し、$ z = ir $ において境界条件に等号が成立することを示すこと。

提案手法

• 本研究は、$ f/g \in \mathcal{P} $、$ |f/g - 1| < 1 $、または $ \operatorname{Re}\left(\frac{1-z^2}{z}f(z)\right) > 0 $ という劣微分条件に基づき、$ g $ が $ \operatorname{Re}\left(\frac{1-z^2}{z}g(z)\right) > 0 $ を満たすように、3つのクラス $ \mathcal{K}_1, \mathcal{K}_2, \mathcal{K}_3 $ を定義する。
• 既知の劣微分原理と係数推定を適用し、特に関数 $ f_3(z) = z/(1 - z^4) $ を用いて、虚軸上での $ zf'(z)/f(z) $ の境界挙動を検証する。
• 星型関数の各部分クラスに対して、$ r $ を含む不等式を解くことで半径を導出する。例えば、$ \frac{2r(r^2 + r + 1)}{1 - r^4} \leq \text{しきい値} $ であり、しきい値は部分クラスを定義する関数 $ h $ に依存する。
• 半径は、不等式の等号条件から導かれる特定の多項式方程式の最小正の実根として計算され、例えば $ \mathcal{S}_P^* $ の場合、$ 3r^4 - 4r^3 - 4r^2 - 4r + 1 = 0 $ の最小正の実根である。
• 不等式の等号条件から得られるレムマ 2.4–2.9 を用いて、$ zf'(z)/f(z) $ の増大度と $ h(z) $ の像との関係を確立し、$ zf'(z)/f(z) \prec h(z) $ が半径 $ r^* $ まで成り立つことを保証する。
• 極値関数 $ f_3 $ を用いて、$ z = ir^* $ において $ zf_3'(z)/f_3(z) $ が $ h $ の像の境界に達することを示し、定義不等式に等号が成立することを確認することで、鋭鋭さを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ \mathcal{S}^*(h) $ が $ zf'(z)/f(z) \prec h(z) $ を満たす星型関数の部分クラスであるとき、すべての $ f \in \mathcal{K}_3 $ に対して $ f_r(z) = f(rz)/r \in \mathcal{S}^*(h) $ となる最大半径 $ \rho $ は何か？
• RQ2 レミニスケート星型的、指数的星型的、放物型星型的など、異なる星型的関数の部分クラスにおいて、星型的半径はどのように変化するか？例えば $ h(z) = \sqrt{1+z} $、$ h(z) = e^z $、$ h(z) = 1 + \sin z $ の場合。
• RQ3 1つの極値関数を用いて、計算された半径の鋭鋭さを検証できるか？もしそうなら、どの関数が用いられ、どの点で等号が成立するか？
• RQ4 $ \mathcal{S}_e^* $、$ \mathcal{S}_c^* $、$ \mathcal{S}_R^* $ のような部分クラスの正確な半径を定義する多項式方程式は何か？
• RQ5 条件 $ \operatorname{Re}\left(\frac{1-z^2}{z}f(z)\right) > 0 $ は、他のクラスと比較して星型的半径にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $ \mathcal{K}_3 $ の $ \mathcal{S}_P^* $-半径は $ R_{\mathcal{S}_P^*} = r^* \approx 0.2021347 $ であり、多項式 $ 3r^4 - 4r^3 - 4r^2 - 4r + 1 = 0 $ の最小正の実根として与えられ、極値関数 $ f_3(z) = z/(1 - z^4) $ に対して鋭鋭である。
• 指数的星型的半径 $ R_{\mathcal{S}_e^*} \approx 0.244259 $ は、多項式 $ (2r^3 + 2r^2 + 2r - 1 - r^4)e + 1 - r^4 = 0 $ の最小正の実根として与えられ、$ z = iR_{\mathcal{S}_e^*} $ において $ |\log(zf_3'(z)/f_3(z))| = 1 $ が成立することで鋭鋭さが確認されている。
• $ \mathcal{S}_c^* $-半径は $ R_{\mathcal{S}_c^*} \approx 0.254716 $ であり、多項式 $ 3r^3 + 3r^2 + 3r - 1 - 2r^4 = 0 $ の最小正の実根として与えられ、$ z = iR_{\mathcal{S}_c^*} $ において $ zf_3'(z)/f_3(z) = 1/3 = h_c(-1) $ が成立するため、鋭鋭さが成立する。
• $ \mathcal{S}_{\leftmoon}^* $-半径は、多項式 $ 2r^3 + 2r^2 + 2r - \sqrt{2}r^4 = 2 - \sqrt{2} $ の最小正の実根として与えられ、$ z = iR_{\mathcal{S}_{\leftmoon}^*}} $ において $ |(zf_3'(z)/f_3(z))^2 - 1| = 2|zf_3'(z)/f_3(z)| $ が成立することで鋭鋭さが検証されている。
• $ \mathcal{S}_{\sin}^* $-半径は、多項式 $ 2r(r^3 + r^2 + r + 1) = \sin(1)(1 - r^4) $ の最小正の実根として与えられ、極値関数 $ f_3 $ に対して定義条件に等号が成立するため、鋭鋭さが成立する。
• $ \mathcal{S}_R^* $-半径は、多項式 $ (2\sqrt{2} - 1)r^4 - 2r(r^2 + r + 1) + (3 - 2\sqrt{2}) = 0 $ の最小正の実根として与えられ、$ z = iR_{\mathcal{S}_R^*} $ において $ zf_3'(z)/f_3(z) = 2\sqrt{2} - 2 = h_R(-1) $ が成立することで鋭鋭さが確認されている。