[論文レビュー] Radon--Nikodym representations of Cuntz--Krieger algebras and Lyapunov spectra for KMS states

Marc Keßeböhmer, Manuel Stadlbauer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Cuntz--Krieger代数上の$(H,\beta)$-KMS状態と、双対Perron--Frobenius作用素$\mathcal{L}_{-\beta H}^*$の固有値1に対する固有測度の間の一対一対応を確立し、放物的要素を含む拡張的系へ既存結果を一般化する。Markov織り込み系を用いたCuntz--Krieger代数のRadon--Nikodym表現を導入し、Kleinian群に応用することで、極限集合上の連続関数に制限されたKMS状態のHausdorff次元に関する公式を導出する。

ABSTRACT

We study relations between $(H,β)$--KMS states on Cuntz--Krieger algebras and the dual of the Perron--Frobenius operator $\mathcal{L}_{-βH}^{*}$. Generalising the well--studied purely hyperbolic situation, we obtain under mild conditions that for an expansive dynamical system there is a one--one correspondence between $(H,β)$--KMS states and eigenmeasures of $\mathcal{L}_{-βH}^{*}$ for the eigenvalue 1. We then consider representations of Cuntz--Krieger algebras which are induced by Markov fibred systems, and show that if the associated incidence matrix is irreducible then these are $\ast$--isomorphic to the given Cuntz--Krieger algebra. Finally, we apply these general results to study multifractal decompositions of limit sets of essentially free Kleinian groups $G$ which may have parabolic elements. We show that for the Cuntz--Krieger algebra arising from $G$ there exists an analytic family of KMS states induced by the Lyapunov spectrum of the analogue of the Bowen--Series map associated with $G$. Furthermore, we obtain a formula for the Hausdorff dimensions of the restrictions of these KMS states to the set of continuous functions on the limit set of $G$. If $G$ has no parabolic elements, then this formula can be interpreted as the singularity spectrum of the measure of maximal entropy associated with $G$.

研究の動機と目的

• 拡張的力学系に放物的要素を含む場合に対しても、KMS状態と双対Perron--Frobenius作用素の固有測度の間の対応を一般化すること。
• インシデント行列が非可約であるとき、連続なRadon--Nikodym導関数を有するMarkov織り込み系によって誘導されるCuntz--Krieger代数のRadon--Nikodym表現を確立すること。
• 本フレームワークを、放物的要素を有する本質的に自由なKleinian群に適用し、Lyapunovスペクトルと多分岐的分解を用いてKMS状態を分析すること。
• Kleinian群の極限集合上の連続関数に制限されたKMS状態のHausdorff次元に関する公式を導出すること。
• 群に放物的要素がない場合、得られた次元公式が、最大エントロピー測度の特異性スペクトルとして解釈できるかどうかを検討すること。

提案手法

• Cuntz--Krieger代数$\mathcal{O}_A$上の$(H,\beta)$-KMS状態を特徴付けるために、双対Perron--Frobenius作用素$\mathcal{L}_{-\beta H}^*$の使用。
• 連続なRadon--Nikodym導関数を有するMarkov織り込み系を用いて、$\mathcal{O}_A$のRadon--Nikodym表現の構成。
• 本質的に自由なKleinian群の極限集合に thermodynamic formalism を適用し、境界上に力学系を定義するためのBowen--Series写像類似物の使用。
• $\mathcal{L}_{-\beta H}^*$の固有値1に対する固有測度と、$\{H=0\}$上で自明な$(H,\beta)$-KMS状態との間の一対一対応の確立。
• Lyapunovスペクトルを用いて、KMS状態を$\mathcal{C}(L(G))$に制限したもののHausdorff次元に関する公式の導出。
• $H$および$\widetilde{\chi}$を用いて、前像集合上の有限和による全空間上の移行関数$\chi$を定義し、$H$および$\widetilde{\chi}$が連続であるとき$\chi$の連続性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放物的要素を含む拡張的系において、$(H,\beta)$-KMS状態と、$\mathcal{L}_{-\beta H}^*$の固有値1に対する固有測度との間の一対一対応は成立するか？
• RQ2 インシデント行列$A$が非可約であり、測度$m$のRadon--Nikodym導関数がその台上で連続であるとき、Cuntz--Krieger代数$\mathcal{O}_A$は連続なRadon--Nikodym導関数を有するMarkov織り込み系によって誘導される$^*$-同型写像をもつ条件は何か？
• RQ3 本質的に自由なKleinian群のBowen--Series写像類似物のLyapunovスペクトルを用いて、関連するCuntz--Krieger代数上に解析的家族のKMS状態を定義できるか？
• RQ4 Kleinian群の極限集合上の連続関数に制限されたKMS状態のHausdorff次元は何か？
• RQ5 群に放物的要素がない場合、次元公式は最大エントロピー測度の特異性スペクトルとどのように関係するか？

主な発見

• 固有値1に対する$\mathcal{L}_{-\beta H}^*$の固有測度の集合と、$\{H=0\}$上で自明な$(H,\beta)$-KMS状態の集合との間に一対一対応が存在し、$H \geq 0$の状況まで既存結果を拡張する。
• インシデント行列$A$が非可約であり、測度$m$のRadon--Nikodym導関数がその台上で連続であるとき、Cuntz--Krieger代数$\mathcal{O}_A$はMarkov織り込み系によって誘導されるRadon--Nikodym表現を有する。
• 本質的に自由なKleinian群$G$に対して、Cuntz--Krieger代数$\mathcal{O}_A$は、Bowen--Series写像類似物のLyapunovスペクトルによって誘導される解析的家族のKMS状態を有する。
• $\mathcal{C}(L(G))$に制限されたKMS状態のHausdorff次元は、Lyapunov指数とPerron--Frobenius作用素の固有値を含む公式で与えられる。
• 群$G$に放物的要素がない場合、次元公式は、$G$に関連する最大エントロピー測度の特異性スペクトルと一致し、KMS理論と多分岐的解析を結びつける。
• 全空間$\Omega$上の可測関数$\chi$は、$H$および$\widetilde{\chi}$を用いて前像集合上の有限和により構成され、$H$および$\widetilde{\chi}$が連続であるとき$\chi$の連続性が保証される。