[論文レビュー] Rainbow connections for planar graphs and line graphs

Xiaolong Huang, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、平面グラフおよび線グラフにおけるランダム接続の計算複雑性を確立し、平面二部グラフおよび線グラフにおいても、ランダム接続を決定することはNP完全のままであることを証明する。さらに、直径が小さい外平面グラフにおけるランダム接続数のタイトな上界を提示し、直径2の外平面グラフではrc(G) ≤ 3、直径3のブリッジレス外平面グラフではrc(G) ≤ 6が成り立つことを示す。

ABSTRACT

An edge-colored graph $G$ is rainbow connected if any two vertices are connected by a path whose edges have distinct colors. The rainbow connection number of a connected graph $G$, denoted by $rc(G)$, is the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ rainbow connected. It was proved that computing $rc(G)$ is an NP-Hard problem, as well as that even deciding whether a graph has $rc(G)=2$ is NP-Complete. It is known that deciding whether a given edge-colored graph is rainbow connected is NP-Complete. We will prove that it is still NP-Complete even when the edge-colored graph is a planar bipartite graph. We also give upper bounds of the rainbow connection number of outerplanar graphs with small diameters. A vertex-colored graph is rainbow vertex-connected if any two vertices are connected by a path whose internal vertices have distinct colors. The rainbow vertex-connection number of a connected graph $G$, denoted by $rvc(G)$, is the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ rainbow vertex-connected. It is known that deciding whether a given vertex-colored graph is rainbow vertex-connected is NP-Complete. We will prove that it is still NP-Complete even when the vertex-colored graph is a line graph.

研究の動機と目的

• 辺彩色された平面二部グラフがランダム接続可能かどうかを決定する問題の計算複雑性を特定すること。
• 頂点彩色された線グラフにおけるランダム接続の複雑性を調査すること。
• 直径に基づいてブリッジレス外平面グラフのランダム接続数に対するタイトな上界を確立すること。
• 既知のNP完全性結果を、平面グラフおよび線グラフを含むより制限されたグラフクラスへ拡張すること。
• スパarsなグラフおよび幾何的制約を受けるグラフ族におけるランダム接続の構造的洞察を提供すること。

提案手法

• 辺彩色ランダム接続問題を平面二部グラフへ多項式時間還元するため、辺を分割し、彩色構造を保持する。
• 一般のNP完全問題からの還元を用いて、平面二部グラフにおける辺彩色ランダム接続のNP完全性を証明する。
• 小直径の外平面グラフの構造を分析し、支配集合およびコード配置を同定することで、ランダム接続数の上限を導出する。
• 末端頂点を含む基本グラフGから線グラフG'を構築し、頂点彩色に置き換えた辺彩色を模倣し、ランダム接続性の性質を保持する。
• Gにおける辺彩色がG'における頂点彩色c'に対応するように定義し、GとG'におけるランダム接続性の同値性を示す。
• 頂点の隣接関係および経路の存在に基づく構造的議論を用いて、G'におけるランダム頂点接続性がGにおけるランダム接続性を示すことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辺彩色された平面二部グラフにおけるランダム接続性を決定する問題はNP完全か？
• RQ2 頂点彩色された線グラフにおけるランダム頂点接続性を決定する問題はNP完全か？
• RQ3 直径2のブリッジレス外平面グラフにおけるランダム接続数の最大値は何か？
• RQ4 直径3のブリッジレス外平面グラフにおけるランダム接続数の最大値は何か？
• RQ5 辺彩色ランダム接続問題を、線グラフ上の頂点彩色問題に還元することで、複雑性を保持できるか？

主な発見

• 辺彩色された平面二部グラフがランダム接続可能かどうかを決定することはNP完全である。
• 頂点彩色された線グラフがランダム頂点接続可能かどうかを決定することはNP完全である。
• 任意の直径2のブリッジレス外平面グラフについて、ランダム接続数は3以下である。
• 任意の直径3のブリッジレス外平面グラフについて、ランダム接続数は6以下である。
• グラフのランダム接続数は直径によって下界が与えられ、上界は$n-1$であり、外平面グラフに対してタイトな境界が確立された。
• 辺彩色グラフから頂点彩色線グラフへの還元は、ランダム接続性の性質を保持し、複雑性の同等性を確立した。