[論文レビュー] Ramsey properties of randomly perturbed dense graphs

Emil Powierski|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 21被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ランダムに摂動された密度の高いグラフにおけるラムゼー性質の漸近的に鋭い閾値を確立し、任意の $ \gamma $-密度の高いグラフに $ G(n,p) $ を加えることで、$ p $ が $ r $ に依存する閾値を超えると、任意の2色分けにおいてほとんど確実に単色の $ K_r $ が得られることを示している。奇数 $ r \geq 5 $ に対しては結果が鋭く、偶数 $ r \geq 4 $ に対してもほぼ鋭い結果が得られており、非対称ラムゼー理論と従属するランダム選択法を用いている。

ABSTRACT

We investigate Ramsey properties of a random graph model in which random edges are added to a given dense graph. Specifically, we determine lower and upper bounds on the function $p=p(n)$ that ensures that for any dense graph $G_n$ a.a.s. every 2-colouring of the edges of $G_n\cup G(n,p)$ admits a monochromatic copy of the complete graph $K_r$. These bounds are asymptotically sharp for the cases when $r\geq 5$ is odd and almost sharp when $r\geq 4$ is even. Our proofs utilise recent results on the threshold for asymmetric Ramsey properties in $G(n,p)$ and the method of dependent random choice.

研究の動機と目的

• 任意の $ \gamma $-密度の高いグラフ $ G_n $ に $ G(n,p) $ を加えたとき、任意の2辺色分けにおいてほとんど確実に単色の $ K_r $ を含むような閾値関数 $ p(n) $ を特定すること。
• 密度の高い基本グラフを想定した文脈で、ランダムに摂動されたグラフに関する先行のラムゼー結果を拡張し、非対称ラムゼー性質を分析すること。
• 特に $ r $ の偶奇に注目しながら、$ r \geq 4 $ に対して $ p(n) $ の鋭いかほぼ鋭い境界を確立すること。
• 最近の非対称ラムゼー閾値と従属するランダム選択法の進展を活用し、摂動グラフにおける構造的保証を導出すること。

提案手法

• 任意の固定された $ \gamma > 0 $ に対して、$ G(n,p) $ を加えることで得られるランダムに摂動された密度の高いグラフのモデルを用いる。
• 非対称ラムゼー性質の閾値を分析するため、非対称2次密度関数 $ m_2(G,H) $ を $ K_r $-関連構成に適用する。
• 従属するランダム選択法を用いて、$ G(n,p) $ 内に大きな、良好に接続された部分集合を特定し、単色のクリークの構成を可能にする。
• ロドルとルーツィンスキーの対称ラムゼー閾値の結果と、新規に得られた非対称ラムゼー閾値を組み合わせ、摂動モデルの境界を導出する。
• 単色の $ K_4 $ が存在しない場合の矛盾を導くために、3段階の辺色分け構成を用い、$ K_3 $-自由および $ K_4 $-自由部分グラフからの構造的制約に依存する。
• 極値的グラフ理論を用いて、密度 $ \rho(H) \geq 2 $ を満たす部分グラフの辺数を制限し、$ p $ が閾値未満のとき、このような部分グラフがほとんど確実に $ G(n,p) $ に現れないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $ \gamma $-密度の高い基本グラフ $ G_n $ に対して、$ G_n \cup G(n,p) $ が任意の2辺色分けにおいてほとんど確実に単色の $ K_r $ を含むような閾値 $ p(n) $ は何か？
• RQ2 特に $ r \geq 4 $ の場合に、ランダムに摂動された密度の高いグラフにおけるラムゼー性質の閾値は、$ G(n,p) $ 単体のものとどのように比較できるか？
• RQ3 奇数 $ r \geq 5 $ に対して、$ G_n \cup G(n,p) \rightarrow (K_r) $ の閾値を漸近的に鋭くできるか？
• RQ4 摂動グラフにおける単色の $ K_4 $ を防ぐために必要な $ G(n,p) $ の構造的性質（例：密度の高い部分グラフの不在）は何か？
• RQ5 非対称ラムゼー閾値が、特に $ K_3 $ および $ K_4 $-自由部分グラフの文脈において、摂動モデルの閾値にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 奇数 $ r \geq 5 $ に対して、$ G_n \cup G(n,p) \rightarrow (K_r) $ の閾値 $ p(n) $ は漸近的に鋭く、下限と上限が正確に一致する。
• 偶数 $ r \geq 4 $ に対しては、$ p(n) $ の境界はほぼ鋭く、指数部において定数因子の差異しか存在しない。
• $ G_n \cup G(n,p) \rightarrow (K_3) $ の閾値は $ p(n) = n^{-1} $ であり、これは鋭く、既知の結果と一致する。
• $ p = o(n^{-2/(t-1)}) $ のとき、任意の $ \gamma $-密度の高いグラフ $ G_n $ に対して、$ G_n \cup G(n,p) \nrightarrow (K_3, K_t) $ がほとんど確実に成り立つ。これは $ t \geq 3 $ のとき閾値が鋭いことを示している。
• $ p $ が閾値未満のとき、$ G(n,p) $ に $ \rho(H) \geq 2 $ かつ $ |V(H)| \leq 8 $ を満たす部分グラフ $ H $ がほとんど確実に存在しないことは、証明の主要な構造的要素である。
• 単色の $ K_4 $ を回避するための3段階の色分け論法を構築し、$ K_3 $-自由および $ K_4 $-自由部分グラフとエッジ集合 $ E_s $ に依存し、辺数の不等式を用いて矛盾を導出する。