[論文レビュー] Random Tur\'an theorem for hypergraph cycles

Dhruv Mubayi, Liana Yepremyan|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランダムな $r$-uniformハイパーグラフ $G_{n,p}^{(r)}$ における線形な偶数サイクル $C_{2 heta}^{(r)}$ の典型的なツーラン数を確立し、$p$ の変動範囲が狭まる領域を除き、多対数要因のオーダーまで閾値の挙動を特定する。本稿では、従来の境界を強化し、広い範囲のエッジ確率において精密な推定を可能にする、コードグレに依存する新しい超飽和結果を導入する。

ABSTRACT

Given $r$-uniform hypergraphs $G$ and $H$ the Tur\\'an number $\ m ex(G, H)$ is the maximum number of edges in an $H$-free subgraph of $G$. We study the typical value of $\ m ex(G, H)$ when $G=G_{n,p}^{(r)}$, the Erd\\H{o}s-R\\'enyi random $r$-uniform hypergraph, and $H=C_{2\\ell}^{(r)}$, the $r$-uniform linear cycle of length $2\\ell$. The case of graphs ($r=2$) is a longstanding open problem that has been investigated by many researchers. We determine $\ m ex(G_{n,p}^{(r)}, C_{2\\ell}^{(r)})$ up to polylogarithmic factors for all but a small interval of values of $p=p(n)$ whose length decreases as $\\ell$ grows. Our main technical contribution is a balanced supersaturation result for linear even cycles which improves upon previous such results by Ferber-Mckinley-Samotij and Balogh-Narayanan-Skokan. The novelty is that the supersaturation result depends on the codegree of some pairs of vertices in the underlying hypergraph. This approach could be used to prove similar results for other hypergraphs $H$.

研究の動機と目的

• エッジ確率 $p$ におけるエドゥアルド＝レニイのランダム $r$-uniformハイパーグラフ $G_{n,p}^{(r)}$ におけるツーラン数 $\mathrm{ex}(G_{n,p}^{(r)}, C_{2 heta}^{(r)})$ の典型的な値を特定すること。
• 双対グラフにとどまらず、$r$-uniform線形な偶数サイクルに注目することで、ランダムツーラン問題の理解を拡張すること。
• 頂点ペアのコードグレを考慮するより強い超飽和定理を構築し、ハイパーグラフサイクルにおける既存の結果を改善すること。
• 広い範囲の $p$ において、$G_{n,p}^{(r)}$ 内の最大の $C_{2 heta}^{(r)}$-free部分グラフのサイズに対する漸近的 almost sure な境界を確立すること。
• 偶数サイクル以外の $r$-partite $r$-グラフに対しても適用可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• ハイパーグラフ内の頂点ペアのコードグレに依存する、線形な偶数サイクルのバランスの取れた超飽和結果を導入する。
• コードグレ依存型超飽和を用いて、$r$-グラフにおける $\mathrm{ex}(G_{n,p}^{(r)}, C_{2 heta}^{(r)})$ のタイトな境界を導出する。
• コンテナ法と確率的不等式（例：チェルノフ不等式、マーカフの不等式）を用いて、ランダムハイパーグラフ内の小さなサイクルの数を制御する。
• スティーナー系と高径路長の3-グラフのブロー・アップを用いて、明示的な $C_{2 heta}^{(r)}$-free部分グラフを構築し、下界を確立する。
• ベルトランの公理を用いて、所望の性質を持つ部分スティーナー系を構築し、スパarselyで高径路長の部分グラフを構成する。
• 集中不等式を用いて、高径路長の3-グラフのランダムブロー・アップにおける孤立エッジの数が期待値の周囲に集中することを示し、下界の構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム $r$-uniformハイパーグラフ $G_{n,p}^{(r)}$ における $\mathrm{ex}(G_{n,p}^{(r)}, C_{2 heta}^{(r)})$ の典型的な値は何か？
• RQ2 頂点ペアのコードグレは、ハイパーグラフにおける線形な偶数サイクルの超飽和にどのように影響するか？
• RQ3 コードグレを考慮するより強い超飽和結果を開発することは可能か？ これにより、ランダムハイパーグラフにおけるツーラン型の境界が改善されるか？
• RQ4 $p=n^{-\alpha}$ のさまざまな範囲において、$\mathrm{ex}(G_{n,p}^{(r)}, C_{2 heta}^{(r)})$ の閾値挙動はどのように変化するか？
• RQ5 コードグレ依存型超飽和法は、他の $r$-partite $r$-グラフへ一般化できる範囲はどの程度か？

主な発見

• $\ell$ が増加するにつれ、$p$ の狭まる区間を除き、すべての $p$ に対して $\mathrm{ex}(G_{n,p}^{(r)}, C_{2 heta}^{(r)})$ を多対数要因のオーダーまで特定した。
• フェルバー＝マッキンレー＝サモティジおよびバラゴン＝ナラヤナン＝スコカンの先行研究を改善する、新しいコードグレ依存型超飽和結果を証明した。
• $p \ll n^{-1+1/(2\ell-1)}$ の場合、ツーラン数は $\mathrm{ex}(G_{n,p}^{(r)}, C_{2 heta}^{(r)}) = (1-o(1))e(G_{n,p}^{(r)})$ が a.a.s. 成り立つ。
• $p \gg n^{-1+1/(2\ell-1)}$ の場合、ツーラン数は多対数要因のオーダーまで $O(p^{1/\ell}n^{1+1/\ell})$ で有界である。
• 高径路長の3-グラフのブロー・アップを用いた構成により、$a.a.s.$ で $\Omega(p^{1/4}n^{3/2})$ のエッジを持つ $C_4^{(3)}$-free部分グラフが得られる。これは $p \gg n^{-2}$ の場合に有効である。
• $p = n^{-2/3}$ の場合、下界 $\Omega(n^{4/3})$ が達成され、3-ユニフォームの場合の閾値と一致する。