[論文レビュー] Random weighted averages, partition structures and generalized arcsine laws

Jim Pitman|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2018

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 68被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、分割構造と一般化アーベル則を用いて、確率的重み付き平均（P-平均）の分布理論を統一的に提示する。P-平均のモーメント公式を、Pからの標本における異なる値の数の確率母関数に結びつける。また、(α,θ)-平均の明示的なコーシー＝スタイリジュー変換を導出し、一般化アーベル則やディリクレ平均を特別な場合として含む。

ABSTRACT

This article offers a simplified approach to the distribution theory of randomly weighted averages or $P$-means $M_P(X):= \sum_{j} X_j P_j$, for a sequence of i.i.d.random variables $X, X_1, X_2, \ldots$, and independent random weights $P:= (P_j)$ with $P_j \ge 0$ and $\sum_{j} P_j = 1$. The collection of distributions of $M_P(X)$, indexed by distributions of $X$, is shown to encode Kingman's partition structure derived from $P$. For instance, if $X_p$ has Bernoulli$(p)$ distribution on $\{0,1\}$, the $n$th moment of $M_P(X_p)$ is a polynomial function of $p$ which equals the probability generating function of the number $K_n$ of distinct values in a sample of size $n$ from $P$: $E (M_P(X_p))^n = E p^{K_n}$. This elementary identity illustrates a general moment formula for $P$-means in terms of the partition structure associated with random samples from $P$, first developed by Diaconis and Kemperman (1996) and Kerov (1998) in terms of random permutations. As shown by Tsilevich (1997) if the partition probabilities factorize in a way characteristic of the generalized Ewens sampling formula with two parameters $(α,θ)$, found by Pitman (1992), then the moment formula yields the Cauchy-Stieltjes transform of an $(α,θ)$ mean. The analysis of these random means includes the characterization of $(0,θ)$-means, known as Dirichlet means, due to Von Neumann (1941), Watson (1956) and Cifarelli and Regazzini (1990) and generalizations of Lévy's arcsine law for the time spent positive by a Brownian motion, due to Darling (1949) Lamperti (1958) and Barlow, Pitman and Yor (1989).

研究の動機と目的

• P-平均（Pj ≥ 0 で ∑XjPj = 1 となる確率的重み付き平均）の分布に関する簡潔で基礎的な理論を構築すること。
• P-平均とキングマンの分割構造との関係を明確にし、P-平均のモーメントがPからのランダム標本における異なる値の分布を符号化していることを示すこと。
• (α,θ)-平均の分布をコーシー＝スタイリジュー変換を用いて特徴づけ、古典的なアーベル則およびディリクレ平均に関する既知の結果を拡張すること。
• レヴィのアーベル則やフォン・ノイマンのディリクレ平均といった、散在する結果を、一貫したモーメントに基づく枠組みに統合すること。
• 文献へのアクセスしやすい導出と関連づけを提供し、特に分割構造とP-平均理論におけるその役割に不慣れな読者を対象とすること。

提案手法

• Bernoulli(p) 変数におけるモーメント公式 E[M_P(X)]^n = E[p^{K_n}] を用い、P-平均のモーメントと、Pからのサイズnの標本における異なる値の数K_nの確率母関数を結びつける。
• コーシー＝スタイリジュー変換を適用し、(α,θ)-平均の分布を特徴づけ、α≠0、θ≠0 の場合に E[(1+λX̃)^{-θ}] = (E[(1+λX)^α])^{-θ/α} という基本的恒等式を導出する。
• 単調収束定理と単純な確率変数による近似を用いて、有界でない X≥0 への結果の拡張を行う。
• PのGEM(α,θ)表現と2パrameterのポアソン＝ディリクレ過程を用い、一般化アーベル則を極限ケースとして導出する。
• 中国料理店過程における断片化作用素と逆マルティンゲールの理論を用い、P-平均の構造を分析する。
• 形式的べき級数展開により明示的なモーメント公式を導出し、生成関数における λ^n の係数を等置することで E[X̃_α,θ^n] を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pからのランダム重みPの標本によって誘導される分割構造を用いて、P-平均の分布をどのように特徴づけられるか。
• RQ2 P-平均のモーメントと、Pからの標本における異なる値の数の確率母関数との間の明確な関係は何か。
• RQ3 (α,θ)-平均分布のコーシー＝スタイリジュー変換は何か。また、ディリクレ平均や一般化アーベル則といった既知の結果をどのように統合するか。
• RQ4 Xおよび(α,θ)にどのような条件下で、(α,θ)-平均がほとんど確実に有限または無限であるか。
• RQ5 結果は、有界でない非負確率変数Xへどのように拡張されるか。

主な発見

• Bernoulli(p) の X に対して、M_P(X_p) のn次のモーメントは E[p^{K_n}] に等しく、K_n はPからのサイズnの標本における異なる値の数である。これにより、P-平均のモーメントと分割構造との直接的な関係が確立される。
• 0<α<1 かつ θ>−α の場合、X̃_α,θ は E[X^α]<∞ ならばほとんど確実に有限であり、E[X^α]=∞ ならば無限である。これは鋭い可積分性条件を提供する。
• α≠0、θ≠0 の場合、(α,θ)-平均のコーシー＝スタイリジュー変換は E[(1+λX̃_α,θ)^{-θ}] = (E[(1+λX)^α])^{-θ/α} で与えられ、ディリクレ則やアーベル則の既知の変換を一般化する。
• 極限ケース θ=0 では E[log(1+λX̃_α,0)] = (1/α)log(E[(1+λX)^α]) が得られ、X が指標変数の場合にラムベールの変換に還元される。
• 公式 E[(1+λX̃_α,0)^{-1}] = E[(1+λX)^{α-1}]/E[(1+λX)^α] は、0<α<1 の場合に有効な変換の別表現であり、X が単純な場合にバロウらの結果を回復する。
• 理論は、対称ディリクレ平均変換 (141) と無限ディリクレ平均変換 (144) を、一般の(α,θ)-平均公式の特別な場合として統合し、後者は α→0+ の極限として得られる。