[論文レビュー] Randomization for Markov chains with applications to networks in a random environment

Ruslan Krenzler, Hans Daduna+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2014

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、外部要因（故障、修理、容量変更など）によって変動するサービスレートを示すランダム環境下で動作するジャクソン型キューイングネットワークにおける確率的ルーティング再配分アルゴリズムを導入する。ルーティング確率と全体の到着レートを動的に調整することにより、ネットワークの利用度を維持し、キュー長と環境状態の結合分布が積型形式の定常分布を有することを達成する。これにより、定常分布の明示的計算を伴わずに効率的な性能解析が可能になる。

ABSTRACT

We develop randomized modifications of Markov chains and apply these modifications to the routing chains of customers in Jacksonian stochastic networks. The aim of our investigations is to find new rerouting schemes for non standard Jackson networks which hitherto resist computing explicitly the stationary distribution. The non standard properties we can handle by suitable algorithms encompass several modifications of Jackson networks known in the literature, especially breakdown and repair of nodes with access modification for customers to down nodes, finite buffers with control of buffer overflow. The rerouting schemes available in the literature for these situations are special cases of our rerouting schemes, which can deal also with partial degrading of service capacities and even with speed up of service. In any case we require our algorithms to react on such general changes in the network with the aim to maintain the utilization of the nodes. To hold this invariant under change of service speeds (intensities) our algorithms not only adapt the routing probabilities but decrease automatically the overall arrival rate to the network if necessary. Our main application is for stochastic networks in a random environment. The impact of the environment on the network is by changing service speeds (by upgrading and/or degrading, breakdown, repair) and we implement the randomization algorithms to react to the changes of the environment. On the other side, customers departing from the network may enforce the environment to jump immediately. So our environment is not Markov for its own. The main result is to compute explicitly the joint stationary distribution of the queue lengths vector and the environment which is of product form: Environment and queue lengths vector, and the queue lengths over the network are decomposable.

研究の動機と目的

• 定常分布の明示的計算が非現実的となる非標準ジャクソンネットワークにおけるルーティングスキームの開発。
• サービスの故障、修理、劣化、高速化などの動的変化下でもネットワーク利用度を維持すること。
• 顧客の離脱に影響を受ける非マルコフ型環境を含むネットワークへの積型結果の拡張。
• 確率的スキップとリフレクションの両方のメカニズムを組み込んだ、既存のルーティングモデルの一般化。
• 有限バッファ、部分的容量劣化、環境由来のサービスレート変化を統合的に取り扱う統一フレームワークの提供。

提案手法

• 現在のサービスレートと環境状態に応じてルーティング確率を調整する2つのコアなルーティングメカニズムとして、確率的スキップとリフレクションを導入。
• ネットワーク内のサービスレート変更（例：劣化、アップグレード、修理）を環境依存要因 γ(k) でモデル化。
• キュー長 X と環境状態 Y の結合マコフ過程 (X,Y) を定義し、ルーティング遷移と環境遷移を両方含む遷移レートを導入。
• 安定性と積型構造を保証する一般化されたルーティングスキーム r^(α(k)) を適用し、不変測度 α_j(k)·η_j を用いる。
• 結合定常分布を π(n,k) = ξ(n)θ(k) として導出。ここで ξ(n) は純粋ジャクソンネットワークの積型分布であり、θ(k) は縮小された生成子方程式を満たす。
• 環境過程はネットワークとの二方向の相互作用のためマルコフ的でないが、結合過程は依然として積型定常性を保つことを確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サービスレートの変動（故障やアップグレードなど）が生じる状況下でも、確率的ルーティングスキームはネットワーク利用度を維持できるか？
• RQ2 非マルコフ型環境動的特性が存在するにもかかわらず、キュー長と環境状態の結合過程は積型定常分布を有するか？
• RQ3 サービス容量の劣化または向上が生じた場合に、ルーティングをリアルタイムでどのように適応すれば性能を維持できるか？
• RQ4 提案されたフレームワークは、有限バッファ、部分的劣化、修理プロセスといった既存モデルを一般化できるか？
• RQ5 環境依存ルーティングとサービスレートを伴うネットワークにおいて、エルゴード性と積型定常性を保証する条件は何か？

主な発見

• 結合キュー長と環境状態の過程 (X,Y) は、ルーティングと環境遷移を両方反映する明確に定義された生成子 Q^Z を有する一様マコフ過程である。
• 結合定常分布は積型である：π(n,k) = ξ(n)θ(k)。ここで ξ(n) は標準ジャクソンネットワークの分布であり、θ(k) は縮小生成子方程式を満たす。
• 顧客の離脱によるフィードバックのため環境過程はマルコフ的でないが、積型結果は依然として成立し、従来のマルコフ環境を仮定する研究を拡張する。
• サービス速度が低下する際、システムは自動的に全体の到着レートを低下させ、利用度と安定性を維持する。
• 本フレームワークは既存モデルを一般化し、有限バッファ、ノードの故障、修理といった特殊ケースを包含しながらも、解析的取り扱いの容易さを維持する。
• 確率的スキップとリフレクションによるルーティングスキームは、保証された積型結果を有する包括的ランダマイゼーションフレームワークの特別なケースであることが示された。