[論文レビュー] Randomness and disorder of chaotic iterations. Applications in information security field

Xiaole Fang, Christophe Guyeux+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Chaos-based Image/Signal Encryption参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、整数領域上の離散的力学系としての「カオス的反復」を活用して、暗号的に安全なプリミティブ（擬似乱数生成器、ハッシュ関数、対称暗号）を設計するフレームワークを提案する。これらの系がデヴァニのカオス基準（感度、トランスティビティ、稠密な周期的点）を満たすことを証明することで、強力なランダム性と無秩序性を有することが示され、実数領域のカオス的系に内在する有限精度による劣化に対する耐性を有する、堅牢なセキュリティ応用が可能となる。

ABSTRACT

Design and cryptanalysis of chaotic encryption schemes are major concerns to provide secured information systems. Pursuing our previous research works, some well-defined discrete chaotic iterations that satisfy the reputed Devaney's definition of chaos have been proposed. In this article, we summarize these contributions and propose applications in the fields of pseudorandom number generation, hash functions, and symmetric cryptography. For all these applications, the proofs of chaotic properties are outlined.

研究の動機と目的

• デジタル実装における有限精度算術に起因する実数領域カオス的系の動的劣化を解消すること。
• 有限精度効果を回避しつつカオス的挙動を維持する、離散的かつ整数ベースのフレームワーク（カオス的反復）を確立すること。
• 擬似乱数生成、暗号的ハッシュ、対称暗号といった実用的情報セキュリティプリミティブへのカオス的反復の応用。
• 提案された構成がデヴァニのカオス定義（感度、トランスティビティ、稠密な周期的点）を満たすことを形式的に証明すること。
• 系のカオス性が、ハッシュ関数における衝突耐性および第二原像耐性といった強力な暗号的性質にどのように反映されるかを示すこと。

提案手法

• カオス的反復を、各ステップでバイナリーベクトルの1成分のみを更新する離散力学系として定義し、その更新は $ S^n \in \llbracket 1, N \rrbracket $ のシーケンスに従う。
• 位相空間 $ \mathcal{X} = \llbracket 1, N \rrbracket^\mathbb{N} \times \mathds{B}^N $ 上の写像 $ G_f $ としてこの系をモデル化し、シフト関数 $ \sigma $ と状態更新関数 $ F_f $ を組み合わせる。
• 距離空間 $ (\mathcal{X}, d) $ においてトランスティビティと正則性（稠密な周期的点）を証明し、デヴァニのカオス定義を満たすことを示す。
• 安全なPRNGを用いて反復シーケンス $ S^n $ を生成することで、擬似乱数生成器（PRNG）を構築し、カオス的進化を保証する。
• 入力ストリームに従う戦略と安全な圧縮関数 $ h $ を用いてカオス的反復を適用し、ハッシュ関数 $ \mathcal{H}_h $ を設計。$ \mathcal{H}_h $ が $ h $ の衝突耐性および第二原像耐性を保つことを証明する。
• ブロックチェイニング（CBC）モードを、写像 $ G_{\varepsilon_k \circ F_{f_0}} $ を用いてカオス的力学系として再定式化し、関連グラフ $ \mathcal{G}_g $ が強く連結であればカオス性が証明されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数領域上での離散的カオス的反復は、暗号的応用において実数領域カオス的系の代替として堅牢に機能するか？
• RQ2 カオス的反復はデヴァニの形式的カオス定義を満たすか？ そして、離散的かつ有限な距離空間においてその証明は可能か？
• RQ3 カオス的反復を用いた安全な擬似乱数生成器は、有限精度による劣化を回避できるか？
• RQ4 ハッシュ関数へのカオス的反復の応用は、衝突耐性や第二原像耐性といった暗号的性質を保持するか？
• RQ5 標準的なCBCモードは、デヴァニの基準に基づいて本質的にカオス的であるか？ その条件は何か？

主な発見

• 整数領域上に定義されたカオス的反復は、有限精度による劣化を回避し、デジタル実装において安定的かつ予測不可能な力学的挙動を保証する。
• 提案されたカオス的反復に基づくPRNGは、下位の系のカオス的挙動を引き継ぎ、強力なランダム性と初期条件への感度を確保する。
• 構築されたハッシュ関数 $ \mathcal{H}_h $ は、圧縮関数 $ h $ が安全であれば、その衝突耐性および第二原像耐性を保持する。
• 関連する有向グラフ $ \mathcal{G}_g $ が強く連結であれば、CBCモードがカオス的であることが証明され、古典的暗号と位相的カオス性の間に接続が確立される。
• 系のカオス的挙動は、デヴァニの基準（感度、位相的トランスティビティ、距離空間における稠密な周期的点）を用いて形式的に確立された。
• 本フレームワークにより、証明可能な力学的カオス性を有する暗号的に安全なプリミティブの設計が可能となり、カオスに基づく暗号の新しい理論的基盤が提供される。