[論文レビュー] Rank one convexity of the exponentiated Hencky-logarithmic strain energy in finite elastostatics

Patrizio Neff, Ionel‐Dumitrel Ghiba+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2014

Elasticity and Material Modeling被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、指数化されたヘンッケイ対数ひずみテンソルに基づく、等方的かつ体積力・等体積的成分に分離可能なひずみエネルギー族を提案する。2次元ではパrameter $ k \to \frac{1}{4} $ および $ \tilde{k} \to \frac{1}{8} $ のとき、ランク1凸性が保証される。$ n=2,3 $ の範囲で、歪み領域が有界な領域において、応力-ひずみ関係の逆写像可能性と単調性が確立されているが、3次元ではランク1凸性が成立しないことが示された。

ABSTRACT

We investigate a family of isotropic volumetric-isochoric decoupled strain energies $$ F\mapsto W_{_{ m eH}}(F):=\widehat{W}_{_{ m eH}}(U):=\left\{\begin{array}{lll} \frac{\mu}{k}\,e^{k\,\|{ m dev}_n\log {U}\|^2}+\frac{\kappa}{2\, {\widehat{k}}}\,e^{\widehat{k}\,[{ m tr}(\log U)]^2}& ext{if}& { m det} F>0, +\infty & ext{if} &{ m det} F\leq 0, \end{array} ight.\quad $$ based on the Hencky-logarithmic (true, natural) strain tensor $\log U$, where $\mu>0$ is the infinitesimal shear modulus, $\kappa=\frac{2\mu+3\lambda}{3}>0$ is the infinitesimal bulk modulus with $\lambda$ the first Lame constant, $k,\widehat{k}$ are dimensionless parameters, $F= abla \varphi$ is the gradient of deformation, $U=\sqrt{F^T F}$ is the right stretch tensor and ${ m dev}_n\log {U} =\log {U}-\frac{1}{n} { m tr}(\log {U})\cdot 1\!\!1$ is the deviatoric part of the strain tensor $\log U$. For small elastic strains, $W_{_{ m eH}}$ approximates the classical quadratic Hencky strain energy $$ F\mapsto W_{_{ m H}}(F):=\widehat{W}_{_{ m H}}(U):={\mu}\,\|{ m dev}_n\log U\|^2+\frac{\kappa}{2}\,[{ m tr}(\log U)]^2, $$ which is not everywhere rank-one convex. In plane elastostatics, i.e. $n=2$, we prove the everywhere rank-one convexity of the proposed family $W_{_{ m eH}}$, for $k\geq \frac{1}{4}$ and $\widehat{k}\geq \frac{1}{8}$. Moreover, we show that the corresponding Cauchy (true)-stress-true-strain relation is invertible for $n=2,3$ and we show the monotonicity of the Cauchy (true) stress tensor as a function of the true strain tensor in a domain of bounded distortions. We also prove that the rank-one convexity of the energies belonging to the family $W_{_{ m eH}}$ is not preserved in dimension $n=3$.

研究の動機と目的

• 古典的二次ヘンッケイひずみエネルギーにおけるランク1凸性の欠如に対処すること。これは、有限弾性静力学における最小化子の存在に不可欠である。
• 指数化ヘンッケイ対数ひずみテンソルに基づく、2次元でランク1凸性を保証するように修正されたひずみエネルギー族の開発。
• 2次元および3次元における真ひずみテンソルに関するコーシー応力テンソルの逆写像可能性および単調性の分析。
• 提案されたエネルギー族のランク1凸性が3次元変形にまで拡張されるかどうかの特定。

提案手法

• 右ひずみテンソル $ U $ の対数ひずみテンソル $ \log U $ を用いて、体積力成分と等体積的成分を分離するひずみエネルギー関数 $ W_{\text{meH}}(F) $ を定式化し、歪み成分に指数関数的項を組み込む。
• 歪み成分の非線形応答の制御に、次元なしパラメータ $ k $ と $ \tilde{k} $ をそれぞれ導入する。
• 非線形弾性理論におけるランク1凸性理論を適用し、特に右ひずみテンソル $ U $ の文脈で $ W_{\text{meH}} $ の凸性特性を分析する。
• 対数ひずみテンソルの構造とその除法的射影 $ \text{dev}_n \log U $ を用いて、エネルギー式における体積力的および等体積的寄与を分離する。
• 有界歪み領域におけるエネルギー関数のヘッセ行列を分析することで、真ひずみテンソルに関するコーシー応力テンソルの単調性を証明する。
• 微分幾何学的および行列解析的手法を用いて、$ n=2 $ および $ n=3 $ 次元におけるエネルギーおよびその導関数の挙動を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された指数化ヘンッケイ対数ひずみエネルギー族 $ W_{\text{meH}} $ は、2次元有限弾性静力学において、グローバルにランク1凸性を達成するか？
• RQ2 2次元においてランク1凸性が成立する最小のパラメータ閾値 $ k $ および $ \tilde{k} $ は何か？
• RQ3 2次元および3次元において、真ひずみテンソルに関するコーシュー応力テンソルは逆写像可能で単調的か？
• RQ4 3次元変形において、$ W_{\text{meH}} $ のランク1凸性は維持されるか？
• RQ5 提案されたエネルギー族は、微小ひずみ極限において古典的二次ヘンッケイエネルギーとどのように関係するか？

主な発見

• 提案されたひずみエネルギー $ W_{\text{meH}} $ は、$ k \geq \frac{1}{4} $ および $ \tilde{k} \geq \frac{1}{8} $ のとき、平面弾性静力学（$ n=2 $）において至る所ランク1凸性を有する。
• 2次元および3次元の両方において、真ひずみテンソルに関するコーシュー（真）応力テンソルは逆写像可能であり、明確な応力-ひずみ関係を保証する。
• 有界歪み領域において、2次元および3次元の両方で、真ひずみテンソルに関するコーシュー応力テンソルは単調性を示す。
• $ W_{\text{meH}} $ のランク1凸性は3次元変形にまで拡張されないため、凸性特性には次元的制限が存在する。
• 微小ひずみ極限において、$ W_{\text{meH}} $ は、グローバルにランク1凸性を欠くことが知られている古典的二次ヘンッケイひずみエネルギーに収束する。
• エネルギー関数は $ \det F > 0 $ のみで有限であり、$ \det F \leq 0 $ では無限大に発散するため、物性の非圧縮性と物理的整合性が保証される。