[論文レビュー] The exponentiated Hencky-logarithmic strain energy. Part I: Constitutive issues and rank-one convexity

Patrizio Neff, Ionel‐Dumitrel Ghiba+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Elasticity and Material Modeling参考文献 191被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、対数ひずみテンソル log U を用いて体積変化と等体積変化の応答を分離する、指数型ヘンクイ・対数ひずみエネルギー関数 WeH を提案する。平面弾性静力学（n=2）において、WeH が k ≥ 1/4 かつ bk ≥ 1/8 のとき、至る所で1次元凸性を示すことを証明した。また、有界な歪み領域において、Cauchy応力-ひずみ関係の逆写像性と単調性を確立し、有限弾性における主要な凸性および安定性の問題を解決した。

ABSTRACT

We investigate a family of isotropic volumetric-isochoric decoupled strain energies $$ F\mapsto W_{_{ m eH}}(F):=\widehat{W}_{_{ m eH}}(U):=\left\{\begin{array}{lll} \fracμ{k}\,e^{k\,\|{ m dev}_n\log {U}\|^2}+\fracκ{2\, {\widehat{k}}}\,e^{\widehat{k}\,[{ m tr}(\log U)]^2}& ext{if}& { m det} F>0,\\ +\infty & ext{if} &{ m det} F\leq 0, \end{array} ight.\quad $$ based on the Hencky-logarithmic (true, natural) strain tensor $\log U$, where $μ>0$ is the infinitesimal shear modulus, $κ=\frac{2μ+3λ}{3}>0$ is the infinitesimal bulk modulus with $λ$ the first Lamé constant, $k,\widehat{k}$ are dimensionless parameters, $F= abla φ$ is the gradient of deformation, $U=\sqrt{F^T F}$ is the right stretch tensor and ${ m dev}_n\log {U} =\log {U}-\frac{1}{n} { m tr}(\log {U})\cdot 1\!\!1$ is the deviatoric part of the strain tensor $\log U$. For small elastic strains, $W_{_{ m eH}}$ approximates the classical quadratic Hencky strain energy $$ F\mapsto W_{_{ m H}}(F):=\widehat{W}_{_{ m H}}(U):=μ\,\|{ m dev}_n\log U\|^2+\fracκ{2}\,[{ m tr}(\log U)]^2, $$ which is not everywhere rank-one convex. In plane elastostatics, i.e. $n=2$, we prove the everywhere rank-one convexity of the proposed family $W_{_{ m eH}}$, for $k\geq \frac{1}{4}$ and $\widehat{k}\geq \frac{1}{8}$. Moreover, we show that the corresponding Cauchy (true)-stress-true-strain relation is invertible for $n=2,3$ and we show the monotonicity of the Cauchy (true) stress tensor as a function of the true strain tensor in a domain of bounded distortions. We also prove that the rank-one convexity of the energies belonging to the family $W_{_{ m eH}}$ is not preserved in dimension $n=3$.

研究の動機と目的

• 有限弾性における必須の楕円型条件を満たさない古典的二次ヘンクイエネルギーにおける1次元凸性の欠如を是正する。
• 大きな変形下でもより良好な物性的挙動を保証する、対数ひずみに基づく修正されたエネルギー関数を開発する。
• 超弾性材料における安定的で逆写像可能かつ単調な応力-ひずみ関係の数学的基盤を構築する。
• 提案されたエネルギー族の2次元および3次元設定における凸性および単調性の性質を調査する。
• 非線形ポisson比効果を含む、物理的に整合性のある挙動を示す大ひずみゴム状材料のモデリングの理論的基盤を提供する。

提案手法

• 体積的・等体積的成分に分離されたエネルギー関数を提案：WeH(F) = (µ/k)ek∥devn log U∥2 + (κ/(2bk))ebk[tr(log U)]2 （det F > 0 のとき）。
• リーマン多様体上の測地線距離の観点から、対数ひずみテンソル log U を基本的なひずみ尺度として採用する。
• 1次元凸性基準およびLegendre-Hadamard条件を用いて、楕円型性と安定性を分析する。
• Schur凸性および行列解析の手法を用い、log V を関数とするCauchy応力テンソルの単調性を研究する。
• 平面弾性静力学（n=2）において詳細な解析を実施し、3次元への拡張を図り、凸性領域と制限を同定する。
• 物理的整合性を評価するために、TSTS-M+（真応力-真ひずみ単調性）およびKSTS-I条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切なパラメータ選択のもとで、2次元有限弾性における指数型ヘンクイエネルギー WeH は1次元凸性を有するか？
• RQ2 WeH から導かれるCauchy応力テンソルは、対数ひずみの関数として単調性および逆写像性を示すか？
• RQ3 提案されたエネルギーモデルは、ν=0 のとき一軸引張りにおいて側面収縮が生じないという物理的に現実的な挙動を再現できるか？
• RQ4 特に1次元凸性および楕円型性の観点から、3次元におけるモデルの限界は何か？
• RQ5 等体積的成分が大ひずみ下でも凸性を保つパラメータ範囲は存在するか？

主な発見

• n=2 のとき、WeH は k ≥ 1/4 かつ bk ≥ 1/8 ならば、至る所で1次元凸性を示す。
• Cauchy応力-真ひずみ関係は、領域 ∥dev3 τ∥2 ≤ (2/3)σ²y において逆写像可能かつ単調である。ここで τ = log V である。
• GL+(n) 上で n=2,3 のとき、F ↦ (µ/k)ek∥log U∥2 は1次元凸性を有しない。これは、純粋な対数ノルム項の限界を示している。
• 2次ヘンクイエネルギー WH は1次元凸性を有しない。これは、凸性を回復させるために指数化が必要であることを確認する。
• n=3 のとき、等体積的成分 F ↦ ek∥dev3 log U∥2 は k ≥ 3/16 でなければ1次元凸性を有しない。かつ、その場合でも制限された領域内でのみ成立する。
• 3パラメータの部分クラス W♯eH が同定され、一軸引張りにおいて側面収縮が生じないのは、ν=0 のときに限り、線形弾性の挙動と一致する。