[論文レビュー] Rank one local systems on complements of hyperplanes and Aomoto complexes

Morihiko Saito|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、古典的な非共鳴条件が成立しない場合でも、超平面配置の補集合上でのランク1局所系のコhomologyがAomoto複体を用いて計算可能であるための条件を確立する。特異点の埋め込み解消を用いたHodge対数微分形式の分析を通じて、1次におけるAomoto写像の全単射性に関する新しい基準を証明し、モノドロミー固有空間の明示的計算を可能にする。具体的には、計算機を用いず、$G_{31}$反映配置の最初のミルナーcohomologyにおける$λ = \exp(-2\pi i/6)$固有空間の消失を示した。

ABSTRACT

We show that the cohomology of a rank 1 local system on the complement of a projective hyperplane arrangement can be calculated by the Aomoto complex in certain cases even if the condition on the sum of the residues of connection due to Esnault et al is not satisfied. For this we have to study the localization of Hodge-logarithmic differential forms which are defined by using an embedded resolution of singularities. As an application we can compute certain monodromy eigenspaces of the first Milnor cohomology group of the defining polynomial of the reflection hyperplane arrangement of type $G_{31}$ without using a computer.

研究の動機と目的

• 古典的な非共鳴条件が成立しない場合でも、Aomoto複体を用いて超平面配置の補集合上でのランク1局所系のcohomologyを計算する適用範囲を拡張すること。
• 密な辺に対して条件$\alpha_Z \notin \mathbb{Z}_{>0}$が制限要件となる問題を克服し、複素数の配置においてAomoto複体の使用を制限する要因を解消すること。
• Hodge対数微分形式と埋め込み解消を用いた純粋な解析的手法を提供し、ミルナーcohomologyにおけるモノドロミー固有空間を計算すること。
• 計算機代数に依存せずに、$G_{31}$反映配置の最初のミルナーcohomologyにおける$\lambda = \exp(-2\pi i/6)$固有空間の消失を示すことで、この手法の有効性を実証すること。

提案手法

• 著者たちは、特異点の埋め込み解消を用いて定義されるHodge対数微分形式を用い、超平面配置の補集合上でのランク1局所系のcohomologyを分析する。
• 残留部$\alpha_k$に関する条件と特異点の構造に基づいた、Aomoto複体がcohomologyを計算可能であるための精密化された基準を導入する。
• この手法では、配置を「良い」インデックス$I^c$と「悪い」インデックス$I^b$に分解し、$I^b$は非共鳴条件に反する点に対応する。
• 主な技術的ツールは、特に多重度が3以上である特異点におけるHodge対数微分形式の局所化の研究である。
• 証明は、弱Lefschetz定理とEuler標数の考察を含む位相的議論に依拠し、cohomology群の次元を関連付ける。
• この手法は、一般の超平面断面に関して組合せ的および幾何的条件(a)–(d)を満たすことを確認することで、$G_{31}$反射配置に適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な非共鳴条件が成立しない場合でも、Aomoto複体は超平面配置の補集合上でのランク1局所系のcohomologyを計算できるか？
• RQ2 配置および局所系接続残留部の幾何的・組合せ的条件は何か？ それらがAomoto複体が正しいcohomologyを計算可能であるために必要となる。
• RQ3 計算機を用いず、$G_{31}$反射配置の最初のミルナーcohomology群のモノドロミー固有空間を計算することは可能か？
• RQ4 共鳴が存在する状況において、Hodge対数微分形式と埋め込み解消を用いて、局所系cohomologyをどのように分析できるか？
• RQ5 Aomoto複体を用いて、$G_{31}$の最初のミルナーcohomologyにおける$\lambda = \exp(-2\pi i/6)$固有空間の消失を解析的に確立できるか？

主な発見

• Aomoto複体は、$\mathbb{P}^2$上での射影的超平面配置の補集合上でのランク1局所系の最初のcohomologyを、古典的な非共鳴条件が成立しない場合でも、新たな条件(a)–(d)のもとで計算可能である。
• $G_{31}$反射配置の最初のミルナーcohomologyにおける$\lambda = \exp(-2\pi i/6)$モノドロミー固有空間の消失は、計算機を用いず、解析的に確立された。
• この手法は、一般の超平面断面に関して条件(a)–(d)が成り立つことにより、$G_{31}$配置に適用可能である。特に、$X^{I^c} \setminus (X^{I^c(0)} \cup X^{I^b})$の連結性と直線の多重度条件が満たされている。
• 証明は、$G_{31}$の交差ポセットの構造に依拠しており、$|I^b| = 16$、$|I^c| = 44$であり、$X_d$上に少なくとも2つの通常の二重点が存在する。
• この手法は$\lambda = -1$に対しても適用可能であるが、$\lambda = \exp(\pm 2\pi i/3)$に対しては、必要な条件を満たさない多数の三重点が存在するため、失敗する。
• 著者たちは、1次におけるAomoto写像が全単射であり、cohomology群の次元が一致することを確認した。Euler標数の議論により、この手法の妥当性が裏付けられた。