[論文レビュー] Rank one matrices do not contribute to the failure of the finiteness property

Ian D. Morris|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Point processes and geometric inequalities参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ランク1行列が連関スペクトル半径の有限性性質の失敗に寄与しないことを確立している。有限個の行列集合が有限性性質を満たさない場合、ランクが2以上の行列からなるその部分集合も同様に有限性性質を満たさず、同じ連関スペクトル半径を持つことから、非ランク1行列がこのような失敗の本質的要因であることが示される。

ABSTRACT

The joint spectral radius of a bounded set of d times d real or complex matrices is defined to be the maximum exponential rate of growth of products of matrices drawn from that set. A set of matrices is said to satisfy the finiteness property if this maximum rate of growth occurs along a periodic infinite sequence. In this note we give some sufficient conditions for a finite set of matrices to satisfy the finiteness property in terms of its rank one elements. We show in particular that if a finite set of matrices does not satisfy the finiteness property, then the subset consisting of all matrices of rank at least two is nonempty, does not satisfy the finiteness property, and has the same joint spectral radius as the original set. We also obtain an exact formula for the joint spectral radii of sets of matrices which contain at most one element not of rank one, generalising a recent result of X. Dai.

研究の動機と目的

• 連関スペクトル半径の有限性性質の失敗におけるランク1行列の役割を調査すること。
• 行列集合の有限性性質の欠如が、ランク1要素に起因するかどうかを特定すること。
• 特に1つの行列のみがランク≥2である場合に、有限性性質が成立する条件を確立すること。
• X. Daiによる1つのランク1行列を含む行列対に関する最近の結果を一般化すること。
• 有限性性質の反例において、高ランク行列が構造的に必要不可欠であることを明確にすること。

提案手法

• 作用素ノルムおよび積のスペクトル半径を用いた連関スペクトル半径の定義を利用する。
• 特性式：$\varrho(\mathsf{A}) = \inf_{n \geq 1} \sup_{A \in \mathsf{A}_n} \|A\|^{1/n}$ を適用する。ここで $\mathsf{A}_n$ は長さ $n$ のすべての積の集合を表す。
• 行列次元 $d$ についての帰納法を用い、補題2.1により問題を低次元のブロックに還元する。
• 極値ノルムが存在しない場合の行列のブロック下三角化（相似変換）を用い、可逆行列 $U$ を用いて $A_i$ を $B_i$、$C_i$、$D_i$ のブロックに分解する。
• ブロック間のスペクトル半径と連関スペクトル半径を比較し、$\varrho(\mathsf{A}) = \max\{\varrho(\mathsf{B}), \varrho(\mathsf{D})\}$ を示す。
• 低次元ブロック $\mathsf{B}$ に対して帰納法を適用し、同一の仮定のもとで $\mathsf{B}$ における有限性性質が成り立つことを保証し、その後 $\mathsf{A}$ に戻して結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限性性質の失敗が、ランク1行列によってのみ引き起こされる可能性はあるか？
• RQ2 行列集合の連関スペクトル半径と、そのランク1成分およびランク≥2成分の連関スペクトル半径との関係は何か？
• RQ3 行列集合に1つの行列のみがランク≥2である場合、有限性性質が成り立つ条件は何か？
• RQ4 有限性性質は、ランク1行列のみが存在する場合に保持されるか、破壊されるか？
• RQ5 行列集合に高々1つのランク≥2行列が含まれる場合、連関スペクトル半径が、すべての行列がランク1である周期的積によって達成可能か？

主な発見

• 有限個の $d \times d$ 行列からなる集合 $\mathsf{A}$ が有限性性質を満たさない場合、ランクが2以上の行列からなるその部分集合 $\mathsf{R}$ も有限性性質を満たさない。
• 集合 $\mathsf{A}$ が有限性性質を満たさないとき、$\mathsf{A}$ の連関スペクトル半径と $\mathsf{R}$ の連関スペクトル半径は等しく、すなわち $\varrho(\mathsf{A}) = \varrho(\mathsf{R})$ が成り立つ。
• 集合 $\mathsf{A}$ が有限性性質を満たさない場合、集合 $\mathsf{R}$ は少なくとも2つの要素を含まなければならない。
• 任意の有限集合 $\mathsf{A}$ において、ランク≥2の行列が高々1つである場合、連関スペクトル半径は、各ランク1行列が高々1回しか現れない積によって達成される。
• 1つの行列がランク1である2行列の場合、連関スペクトル半径は $\rho(B)$ または $\rho(AB^n)^{1/(n+1)}$（$n \geq 0$）のいずれかであり、X. Daiの結果を一般化する。
• 集合 $\mathsf{R}$ が空集合であるか、または $\varrho(\mathsf{R}) < \varrho(\mathsf{A})$ である場合、有限性性質は $\mathsf{A}$ に対して成り立ち、その連関スペクトル半径は繰り返し制限付きのランク1行列のみを含む積によって達成される。