[論文レビュー] Rank-two graphs whose C^*-algebras are direct limits of circle algebras

David Pask, Iain Raeburn+2 more|ArXiv.org|Dec 13, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、C*-代数がAT代数（円代数の直接極限）であるようなランク2のグラフ、すなわちランク2のブラッテーリ図のクラスを構成する。これにより、非自明なK₁をもつAT代数の具体的な実現が得られる。このC*-代数のK理論を計算し、単純性および実ランクゼロの特徴づけを行い、どの代数が無理数回転代数やバーンス＝デディーン代数に同型なフルコーナーを含むのかも特定する。

ABSTRACT

We describe a class of rank-2 graphs whose C^*-algebras are AT algebras. For a subclass which we call rank-2 Bratteli diagrams, we compute the K-theory of the C*-algebra. We identify rank-2 Bratteli diagrams whose C*-algebras are simple and have real-rank zero, and characterise the K-invariants achieved by such algebras. We give examples of rank-2 Bratteli diagrams whose C*-algebras contain as full corners the irrational rotation algebras and the Bunce-Deddens algebras.

研究の動機と目的

• ランク2のグラフのクラスを構成し、そのC*-代数がAT代数（すなわち円代数の直接極限）であることを示す。
• 特にランク2のブラッテーリ図と呼ばれる部分クラスについて、そのC*-代数のK理論を計算する。
• K理論的および力学的条件を用いて、これらのC*-代数が単純かつ実ランクゼロであるための条件を特徴づける。
• これらのC*-代数の中で、無理数回転代数やバーンス＝デディーン代数に同型なフルコーナーを含むものを同定する。
• トレース単体を記述し、追加の仮定のもとでトレースと円上の確率測度の間の同相写像を確立する。

提案手法

• 青グラフを非循環的であるブラッテーリ図とし、赤グラフを互いに素なサイクルの集合とする2グラフを定義し、要因分解則を満たすようにする。
• C*-代数を、C(𝕋)上の行列代数の有限直和に同型な部分代数の増大列の合併として構成することで、AT代数であることを示す。
• 基本的なK理論の計算を用いて、C*-代数のK₀およびK₁を決定し、K₁がK₀に埋め込まれ、商がランクゼロであることを示す。
• ゲージ不変なイデアルと次元群K₀内の順序イデアルとの間の双対性を確立する。
• 射影がトレースを分離できるように保証するため、「大置換要因分解」条件を導入し、実ランクゼロの結果を得る。
• AT代数のエリオット分類定理を適用し、K不変量を特徴づけ、実ランクゼロおよび単純C*-代数を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのランク2のグラフがC*-代数を円代数の直接極限に与えるか？
• RQ2 ランク2のブラッテーリ図のC*-代数のK理論は何か？ そして、そのグラフ構造とどのように関係するか？
• RQ3 ランク2のブラッテーリ図のC*-代数が単純かつ実ランクゼロであるための条件は何か？
• RQ4 ランク2のブラッテーリ図から得られるどのC*-代数が、フルコーナーとして無理数回転代数またはバーンス＝デディーン代数を含むか？
• RQ5 このようなC*-代数のトレース単体は、円上の確率測度とどのように関係するか？

主な発見

• ランク2のブラッテーリ図のC*-代数は、常に非自明なK₁をもつAT代数であり、純粋に無限大でもAFでもない。
• K₀群はℤのコピーの直和に同型であり、K₁はK₀の部分群Gに同型であり、K₀/Gはランクゼロである。
• 単純性の必要十分条件は、2グラフが共通到達性をもち、かつ「大置換要因分解」性質を満たすことである。
• すべての赤サイクルの長さが1である場合、トレース単体は円上の確率測度の空間に同相であり、測度からトレースへの写像はアフィン的かつ連続的である。
• 関連する力学系が特定の稠密性および最小性条件を満たすとき、かつそのときに限り、C*-代数は無理数回転代数に同型なフルコーナーを含む。
• サイクル長の列が、サイクルサイズの逆数の和が収束する条件を満たすとき、C*-代数はバーンス＝デディーン代数に同型なフルコーナーを含む。