[論文レビュー] Rare mutations limit of a steady state dispersion trait model

Benoı̂t Perthame, Panagiotis E. Souganidis|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Evolution and Genetic Dynamics参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、空間と分散率に影響する遺伝的特性という2つの構造を持つ集団における分散特性の進化を、希少な突然変異の極限を用いて研究する。突然変異率が0に近づく極限において、集団は単一の特性に集中し、最も低い分散率を持つものになる。これはWKB法および粘性解法を用いて導かれた制約付きハミルトン＝ヤコビ方程式によって記述され、進化的速度は有効適応度関数によって定まる。

ABSTRACT

The evolution of dispersal is a classical question in evolutionary ecology, which has been widely studied with several mathematical models. The main question is to define the fittest dispersal rate for a population in a bounded domain, and, more recently, for traveling waves in the full space. In the present study, we reformulate the problem in the context of adaptive evolution. We consider a population structured by space and a genetic trait acting directly on the dispersal (diffusion) rate under the effect of rare mutations on the genetic trait. We show that, as in simpler models, in the limit of vanishing mutations, the population concentrates on a single trait associated to the lowest dispersal rate. We also explain how to compute the evolution speed towards this evolutionary stable distribution. The mathematical interest stems from the asymptotic analysis which requires a completely different treatment of the different variables. For the space variable, the ellipticity leads to the use the maximum principle and Sobolev-type regularity results. For the trait variable, the concentration to a Dirac mass requires a different treatment. This is based on the WKB method and viscosity solutions leading to an effective Hamiltonian (effective fitness of the population) and a constrained Hamilton-Jacobi equation.

研究の動機と目的

• 希少な突然変異のもとで、空間的に不均一な環境における分散特性の進化を理解すること。
• 空間と連続的な分散特性で構造化された集団における進化的安定分布を特定すること。
• 突然変異が消える極限における、最も適応度の高い特性の長期的進化的ダイナミクスを導出すること。
• 定常状態の分散モデルと進化的ダイナミクスを、有効適応度関数とハミルトン＝ヤコビ方程式を用いて結びつける数学的枠組みを確立すること。

提案手法

• 空間的および特性的構造を持つ集団をモデル化し、分散率が遺伝的特性θに依存することを考慮し、空間変数および特性変数の両方における拡散を含む非局所的・非線形な偏微分方程式を用いる。
• 希少な突然変異極限ε→0を適用し、空間変数と特性変数を別々に扱う：空間的変数には最大原理とソボレフ正則性を、特性変数にはWKB法および粘性解法を用いて濃縮を解析する。
• 最も適応度の高い特性の進化を記述するため、制約付きハミルトン＝ヤコビ方程式を用いる。有効適応度は、主固有値問題から導かれる。
• 時間に依存する放物型モデルを導入し、動的進化を研究する。これにより、特性の時間的進化を記述する標準形方程式が得られる。
• 最適特性における有効適応度の勾配とヘッセ行列を用いて、最も適応度の高い特性の進化的速度を導出する。
• θにおける周期的境界条件とxにおけるノイマン条件を導入することで、解析を簡素化し、事前推定を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散率が遺伝的特性である場合、希少な突然変異のもとで集団はどの特性へ進化するか？
• RQ2 空間的に不均一な環境下で、集団の有効適応度は分散特性にどのように依存するか？
• RQ3 空間的に構造化された集団において、希少な突然変異極限における進化的ダイナミクスの数学的構造は何か？
• RQ4 突然変異が消える極限において、分散特性の進化的変化の速度はどのように定量化できるか？
• RQ5 非局所的楕円型作用素の主固有値は、進化的安定性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 希少な突然変異極限ε→0において、集団密度は単一の特性に集中し、最も低い分散率に対応するものとなり、特性変数においてデルタ関数の形で現れる。
• 最適特性θ̄は、有効適応度を最大化することによって決定され、これは集団分布に依存する非局所的楕円型作用素の主固有値として定義される。
• 最も適応度の高い特性の進化的ダイナミクスは、有効適応度と適応度関数の勾配を含む制約付きハミルトン＝ヤコビ方程式によって支配される。
• 特性の進化的速度は、値関数のヘッセ行列と最適特性における有効適応度の勾配に依存する標準形方程式によって与えられる。
• 数値シミュレーションにより、最適特性が時間とともに低い分散率へ進化することが確認され、例題ではθ=0の周辺に集団分布が集中することが示された。
• 有効適応度関数H(θ, N)は、作用素−D(θ)Δx + K(x) − Nの主固有値を通じて定義され、Nは全集団密度を表す。