[論文レビュー] Rational families of vector bundles on curves, I

Ana-Maria Castravet|ArXiv.org|Feb 12, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、 genus g ≥ 2 の曲線 C 上のランク 2 の安定ベクトル束で、固定された次数 1 の決定因子をもつモジュライ空間 M 上の有理曲線を研究する。ラインバンドルとスカイクラッパー・シェーブの拡張を用いて、有理曲線の次数 k の空間に二つの既約成分を特定する：'よい'成分（一般の曲線が十分自由になる、大きな k に対して）と、'ほぼよい'成分（一般の曲線が特定の接バンドル分解をもつ自由曲線）。両成分の最大有理的連結性ファイブレーションは、ジャコビアン J(C) である。

ABSTRACT

Let C be a smooth complex projective curve of genus at least 2 and let M be the moduli space of rank 2, stable vector bundles on C, with fixed determinant of degree 1. For any k>1, we find two irreducible components of the space of rational curves of degree k on M. One component, which we call the nice component has the property that the general element is a very free curve if k is sufficiently large. The other component has the general element a free curve. Both components have the expected dimension and their maximal rationally connected fibration is the Jacobian of the curve C.

研究の動機と目的

• ランク 2 の安定ベクトル束で、固定された次数 1 の決定因子をもつ genus g ≥ 2 の曲線上のモジュライ空間 M 上の、次数 k の有理曲線の空間の既約成分を分類すること。
• これらの成分の次元および幾何的性質（例えば、自由性、非常に自由性）を特定すること。
• 各成分の最大有理的連結性（MRC）ファイブレーションを同定し、それがジャコビアン J(C) であることを示すこと。
• 大きな k に対して、'よい'成分内の一般の曲線が非常に自由であることを示し、その成分における強い有理的連結性を示すこと。

提案手法

• 奇数の k = 2e + 1 に対して、0 → L → E → L⁻¹⊗ξ → 0 の形のラインバンドルの拡張を用い、deg(L) = -e とする。
• 偶数の k に対しては、0 → E → E′ → O_D → 0 の形の拡張を用い、D ∈ Sym^e(C) とし、E が det(ξ(-D)) をもつようにする。
• 射影空間 P(V_L) や P(V_{D,E}) から M への関連する有理写像が、codimension ≥2 の部分集合を除いて定義されることを示す。
• 変形理論とベースポイントフリー・ペンシル・トリックを適用し、決定写像の全射性を証明することで、望ましい有理曲線の存在を保証する。
• 適切に選ばれたラインバンドルに対して H¹(L⊗M⁻¹(-p)) = 0 であることを用い、偶数次元の場合の決定写像の全射性を保証する。
• 直和の変形を用いてラインバンドルの直和を安定束に変形し、特殊化と性質の開性を用いて一般の場合を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュライ空間 M 上の有理曲線の次数 k に対して、Hom_k(P¹, M) の既約成分は何か？
• RQ2 これらの成分の次元は何か？期待される次元 2k + 3g - 3 に一致するか？
• RQ3 各成分の一般の有理曲線が自由または非常に自由になる条件は何か？
• RQ4 各成分の最大有理的連結性（MRC）ファイブレーションは何か？
• RQ5 曲線 C の幾何的性質、特にそのジャコビアン J(C) は、M 上の有理曲線の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の k ≥ 1 に対して、期待される次元 2k + 3g - 3 をもつ Hom_k(P¹, M) の既約成分 M が存在し、一般点で障害がない。
• 『よい』成分 M の MRC ファイブレーションは、有理写像 M ⇢ J(C) であり、genus 2 の場合の k = 2 を除き、すべての k に対して支配的である。
• 大きな k に対して、『よい』成分内の一般の有理曲線は非常に自由である。これは、その成分における強い有理的連結性を示している。
• 『ほぼよい』成分は、P¹ → M となる写像 f から成り、f は M 上の直線へ k 対 1 でマッピングされ、f*TM ≅ O^g ⊕ A を満たす。ここで A は P¹ 上の正のバンドルである。
• genus 2 の場合、M は P⁵ 内の二つの二次曲面の完全交差である。すべての k ≥ 1 に対して両成分が存在し、両方の成分は同じ MRC ファイブレーション J(C) に至る。
• 偶数次元の『よい』成分における非常に自由性の境界は、奇数次元の自由曲線から可約曲線を変形することで、初期の 6g - 6 よりも改善された。