[論文レビュー] Rational Lax operators and their quantization

A. Chervov, Leonid Rybnikov+1 more|ArXiv.org|Apr 15, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、有理的Lax作用素を用いたGaudin可積分模型における、古典的に可換なハミルトニアンの量子化を検討する。$k,m \leq 3$ の場合、$\mathrm{Tr}\,L^k(z)$ と $\mathrm{Tr}\,L^m(z)$ は可換であることが証明されるが、より高い次数では成立しない。具体的には $[\mathrm{Tr}\,L^4(z), \mathrm{Tr}\,L^2(u)] \neq 0$ であり、磁場を含む1スピンの場合でも、$\mathrm{Tr}\,L^6$ と $\mathrm{Tr}\,L^3$ の間に可換性が成立しない。これらの結果は $r$-行列技法と明示的計算により得られる。

ABSTRACT

We investigate the construction of the quantum commuting hamiltonians for the Gaudin integrable model. We prove that [Tr L^k(z), Tr L^m(u) ]=0, for k,m < 4 . However this naive receipt of quantization of classically commuting hamiltonians fails in general, for example we prove that [Tr L^4(z), Tr L^2(u) ] e 0. We investigate in details the case of the one spin Gaudin model with the magnetic field also known as the model obtained by the "argument shift method". Mathematically speaking this method gives maximal Poisson commutative subalgebras in the symmetric algebra S(gl(N)). We show that such subalgebras can be lifted to U(gl(N)), simply considering Tr L(z)^k, k\le N for N<5. For N=6 this method fails: [Tr L_{MF}(z)^6, L_{MF}(u)^3] e 0 . All the proofs are based on the explicit calculations using r-matrix technique. We also propose the general receipt to find the commutation formula for powers of Lax operator. For small power exponents we find the complete commutation relations between powers of Lax operators.

研究の動機と目的

• Gaudin模型における古典的に可換なハミルトニアンが、Lax作用素 $L(z)$ のべきのトレースをとることで量子化可能かどうかを調査すること。
• 量子レベルでの $\mathrm{Tr}\,L^k(z)$ と $\mathrm{Tr}\,L^m(u)$ の可換性が成立する条件を特定すること。
• 磁場を含む1スピンGaudin模型（すなわち、引数シフト法と同等）を分析し、$\mathrm{Tr}\,L^k(z)$ の構成が高次の $k$ に対しても有効であるかどうかを評価すること。
• Lax作用素のべきの間の可換関係を計算する一般的手法を構築すること。

提案手法

• Leningradの $r$-行列形式を用いて、$L^k(z)$ の行列要素間の可換関係を計算する。
• $\mathfrak{gl}(N)$ における $r$-行列恒等式とトレース恒等式を用いて、$[\mathrm{Tr}\,L^k(z), \mathrm{Tr}\,L^m(u)]$ を明示的に計算する。
• 引数シフト法を適用して、$S(\mathfrak{gl}(N))$ における最大のポisson可換部分代数を構成し、それを $U(\mathfrak{gl}(N))$ に持ち上げる。
• $r$-行列と置換演算子を用いて、一般式 $[L^k(z)_{ij}, L^m(u)_{kl}]$ を導出する。
• Lax作用素に含まれる $\mathcal{K}$ と $\Phi$ 行列を含むネストされた可換関係を簡略化するための補助的補題を用いる。
• $\mathcal{K}$ と $\Phi$ 行列の積のトレースを体系的に評価し、可換性または非可換性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的Gaudinハミルトニアンを $\mathrm{Tr}\,L^k(z)$ による単純な量子化で得た場合、量子作用素が可換になるか。
• RQ2 量子レベルでの $[\mathrm{Tr}\,L^k(z), \mathrm{Tr}\,L^m(u)] = 0$ が成立する $k$ と $m$ の値は何か。
• RQ3 磁場を含む1スピンGaudin模型において、引数シフト法による $\mathrm{Tr}\,L^k(z)$ の構成が、すべての $k$ に対して可換なハミルトニアンを生成するか。
• RQ4 1スピンモデルにおいて、可換性の破綻が最初に現れる $k$ の値は何か。
• RQ5 一般式 $[\mathrm{Tr}\,L^k(z), \mathrm{Tr}\,L^m(u)]$ を $r$-行列技法を用いて導出可能か。

主な発見

• $k,m \leq 3$ の場合、量子トレース $\mathrm{Tr}\,L^k(z)$ と $\mathrm{Tr}\,L^m(u)$ は可換である：すべての $z,u$ に対して $[\mathrm{Tr}\,L^k(z), \mathrm{Tr}\,L^m(u)] = 0$。
• 単純な量子化は $k=4$, $m=2$ で失敗する：$[\mathrm{Tr}\,L^4(z), \mathrm{Tr}\,L^2(u)] \neq 0$。
• 磁場を含む1スピンGaudin模型では、$k \leq 5$ の場合、$[\mathrm{Tr}\,L^k(z), \mathrm{Tr}\,L^3(u)] = 0$ だが、$[\mathrm{Tr}\,L^6(z), \mathrm{Tr}\,L^3(u)] \neq 0$ である。
• この構成は $\mathfrak{gl}(6)$ に対して可換なハミルトニアン族を生成できないため、$N=6$ で崩壊が生じることを示唆する。
• 本稿では、$r$-行列技法とトレース恒等式を用いて、Lax作用素のべきの間の可換関係を計算する一般的手法を導出する。
• 明示的計算により、一般Gaudin模型において、対称化写像が $k=3$ を超えて可換性を保つわけではないことが確認された。