[論文レビュー] Rational parametrizations of moduli spaces of curves

Alessandro Verra|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2$ 上の円錐曲線バンドルの有理的パラメトライゼーションを用いて、$g \leq 6$ の場合のプリムモジュライ空間 $ρ_g$ の有理的パラメトライゼーションを確立する。対称的二次形式行列を用いて適切な円錐曲線バンドルを構成し、それらの関連するプリム対が $\mathcal{R}_g$ を支配する。主な結果は、$g \leq 6$ の場合に $\mathcal{R}_g$ が有理的であることを示したことである。これは、$\delta$ 個のノードを持つ円錐曲線バンドルの空間から $\mathcal{R}_g$ への自然な写像が支配的かつ有理的であることを示すことによって達成される。

ABSTRACT

The paper aims to give an account, both historical and geometric, on the diverse geography of rational parametrizations of moduli spaces related to curves. It is a contribution to the book Handbook of Moduli, editors G. Farkas and I. Morrison, to be published by International Press. Refereed version.

研究の動機と目的

• 曲のモジュライ空間、特にプリムモジュライ空間 $\mathcal{R}_g$ の有理的パラメトライゼーションを、円錐曲線バンドルを含む幾何的構成によって調査すること。
• 円錐曲線バンドルの族から $\mathcal{R}_g$ への支配的有理写像を構成することにより、$g \leq 6$ の場合に $\mathcal{R}_g$ が有理的であることを確立すること。
• ノードを持つ平面曲線における古典的な有理的パラメトライゼーション技術を、$\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2$ 内の高次元の円錐曲線バンドル構成へと拡張すること。
• 判別曲線と関連するラインバンドルを通じて、適切な円錐曲線バンドルの幾何とプリム対のモジュライの間の関係を結ぶこと。

提案手法

• 変数 $x$ の二次形式の対称的 $3 \times 3$ 行列 $M$ を用いて、$\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2$ 内の円錐曲線バンドル $V$ を方程式 $xMy = 0$ で定義する。
• 行列 $M$ の行列式を用いて、$\delta = 10 - g$ 個のノードを持つ6次曲線 $C'$ を定義し、これは genus $g$ の曲線 $C$ に双有理同型である。
• 正規化 $C$ の上での非自明な2階捩れラインバンドル $L$ を用いて、各円錐曲線バンドルに対しエタールな2重被覆 $\pi: \tilde{C} \to C$ を関連付ける。
• 各円錐曲線バンドルに対し、$L$ を $C'$ 上の非自明なラインバンドル $L'$ の引き戻しとして得られる、プリム対 $(C, L)$ をモジュライ点として定義する。
• 各適切な円錐曲線バンドルをそのプリム対に写す自然な写像 $m: |V|_\delta \to \mathcal{R}_g$ が $g \leq 6$ の場合に支配的であることを示す。
• 一般の $\delta$ 個の点を $\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2$ 内に固定することで、$|V|_\delta$ の有理的であること、したがって $\mathcal{R}_g$ の有理的パラメトライゼーションが得られることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $g \leq 6$ の場合に、モジュライ空間 $\mathcal{R}_g$ は有理的か？
• RQ2 円錐曲線バンドルを用いて $\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2$ 内で $\mathcal{R}_g$ の有理的パラメトライゼーションを構成できるか？
• RQ3 ノードを持つ判別曲線の幾何は、関連する円錐曲線バンドルのプリム構造とどのように関係するか？
• RQ4 対称的二次形式行列は $\mathcal{R}_g$ のパラメトライゼーションにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 $\delta$ 個のノードを持つ円錐曲線バンドルの空間は、有理的に $\mathcal{R}_g$ を支配できるか？

主な発見

• 一般の $\delta$ 個のノードを持つ円錐曲線バンドルの空間から $\mathcal{R}_g$ への支配的有理写像を構成することにより、$g \leq 6$ の場合に $\mathcal{R}_g$ が有理的であることが示された。
• $g = 6$ の場合、4ノードを持つ円錐曲線バンドルの空間 $|V|_\delta$ は有理的であり、自然な写像 $m: |V|_\delta \to \mathcal{R}_6$ は支配的であるため、$\mathcal{R}_6$ は有理的である。
• この構成では、二次形式の対称的行列 $M$ を用いて $\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2$ 内の円錐曲線バンドル $V$ を定義し、$|V| = |\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2 \times \mathbf{P}^2}(2,2)|$ である。
• このような円錐曲線バンドルの判別曲線 $C'$ は6次曲線で、$\delta = 10 - g$ 個のノードを持つ。その正規化 $C$ には $L^{\tens 2} \cong \mathcal{O}_C$ を満たす非自明なラインバンドル $L$ が存在する。
• $g \leq 6$ の場合に写像 $m: |V|_\delta \to \mathcal{R}_g$ は支配的である。なぜなら、すべての一般のプリム対がこのような円錐曲線バンドルから得られるからである。
• $g = 6$ の場合、空間 $|V|_\delta$ は固定された4個の一般点の集合 $Z$ に対して $|\mathcal{I}_Z^2(2,2)|$ に双有理同型であることが確認され、パrameter空間の有理的であることの確認が得られた。