[論文レビュー] Rational points of bounded height on weighted projective stacks

Ratko Darda|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、重み付き射影スタック上の有理点の有界高さの漸近的分布を確立し、スタック的商へのManin-Peyre予想の一般化を達成する。有界高さの有理点の数に対する明確な漸近公式を、調和解析および関連するトーラス上のアデール的積分を用いて証明する。また、楕円曲線のナイーブ高さとμm- torsorの絶対判別式を統一する高さ関数を導入する。

ABSTRACT

A weighted projective stack is a stacky quotient $\mathscr P(\mathbf a)=(\mathbf A^n-\{0\})/\mathbb G_m$, where the action of $\mathbb G_m$ is with weights $\mathbf a\in\mathbb Z^n_{>0}$. Examples are: the compactified moduli stack of elliptic curves $\mathscr P(4,6)$ and the classifying stack of $μ_m$-torsors $Bμ_m=\mathscr P(m)$. We define heights on the weighted projective stacks. The heights generalize the naive height of an elliptic curve and the absolute discriminant of a torsor. We use the heights to count rational points. We find the asymptotic behaviour for the number of rational points of bounded heights.

研究の動機と目的

• 重み付き射影スタック（非自明な重みを持つ (An\{0})/Gm のスタック的商）の設定において、Manin-Peyre予想を拡張すること。
• 楕円曲線のナイーブ高さとμm- torsorの絶対判別式の両方を一般化する、これらのスタック上の標準的高さ関数を定義すること。
• このようなスタック上での有界高さの有理点の数の漸近的挙動を確立すること。
• 関連するトーラス上の測度とアデール的積分を用いて、高さゼータ関数のPeyre定数を計算すること。
• 高さ測度に関して有理点が等分布することを証明し、スタック的版のManin-Peyre予想を確認すること。

提案手法

• 整数モデルから誘導される線分束および計量を用いて、重み付き射影スタック P(a) = (An\{0})/Gm 上に高さ関数を定義する。
• 関連するトーラス T(a) のアデール群上のグローバルフーリエ変換を用いて、高さゼータ関数を構成する。
• ラデマッハ型推定とp進積分を用いて、高さ関数の局所的およびグローバルなフーリエ変換を分析する。
• 商測度およびトーラスのアデール群上のハール測度を用いて、Peyre定数を計算する。
• 準トーリック高さおよび特異的高さ計量の理論を用いて、有限性およびノースコット性を保証する。
• アデール群 [T(a)(AF)] 上の調和解析を用いて、ゼータ関数の解析接続および極を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き射影スタック上に、楕円曲線のナイーブ高さとtorsorの絶対判別式の両方を一般化する高さ関数をどのように定義できるか。
• RQ2 重み付き射影スタック上での有界高さの有理点の数の漸近的成長率は何か。
• RQ3 このようなスタックの高さゼータ関数は、ピカール群のランクに等しい位数の極を持つ、複素平面へのメロモルフィックな続行を許容するか。
• RQ4 アデール的積分を用いて、重み付き射影スタックのPeyre定数を明示的に計算できるか。
• RQ5 有界高さの有理点の集合は有限であり、Tamagawa測度に関して等分布するか。

主な発見

• 重み付き射影スタック P(a) 上での有界高さの有理点の数は、X → ∞ のとき c ⋅ X^{ρ−1} として漸近的に増加する。ここで ρ は P(a) のピカール群のランクである。
• 漸近公式における主要定数 c は、関連するトーラス T(a) 上でのアデール的積分により計算されるPeyre定数である。
• 高さゼータ関数は、複素平面へとメロモルフィックに続行可能であり、s = 1 に位数 ρ−1 の単一の極を持つ。
• 有界高さの有理点の集合は有限であり、特異的高さに対してもノースコット性を満たす。
• 有理点はアデール的商上のTamagawa測度に関して等分布し、スタック的版のManin-Peyre予想を確認する。
• 本手法は、古典的Manin-Peyre予想をスタックへと明示的に一般化でき、P(4,6)（楕円曲線のコンパクト化モジュライ空間）およびP(m)（μm- torsorの分類スタック）などの具体例でも正当化される。