[論文レビュー] On the Picard group scheme of the moduli stack of stable pointed curves

Roberto Fringuelli, Filippo Viviani|arXiv (Cornell University)|May 14, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、任意のスキーム上での安定点付き曲線のモジュライスタックのピカール群スキームおよびピカール群を計算し、底スキームの特徴が 2 でないか $g \leq 5$ の場合に、自由アーベル群 $\Lambda_{g,n}$ からピカール群への標準的同型射が同型であることを証明する。主な結果は、特徴が 2 でないか $g \leq 5$ である体上の $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k$ および $\mathcal{M}_{g,n}^k$ のピカール群の明示的記述であり、生成子と関係式が明確に特定されている。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to study the (abstract) Picard group and the Picard group scheme of the moduli stack of stable pointed curves over an arbitrary scheme. As a byproduct, we compute the Picard groups of the moduli stack of stable or smooth pointed curves over a field of characteristic different from two.

研究の動機と目的

• 任意のスキーム $S$ 上での genus $g$ の $n$-点付き安定曲線のモジュライスタック $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S$ のピカール群スキームおよびピカール群を記述すること。
• 相対ピカール函手およびその fppf 契約化の構造を特定し、$\mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$ に群スキーム構造を与えること。
• 体 $k$ 上での $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k$ および $\mathcal{M}_{g,n}^k$ のピカール群を、特徴または genus に関する条件の下で計算すること。
• 与えられた仮定の下で、標準的同型射 $\Phi^S_{g,n}: \underline{\Lambda_{g,n}}_S \to \mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$ が群スキームとしての同型であることを確立すること。
• 群 $\Lambda_{g,n}$ を用いて、タウトロジカルなラインバンドル $\lambda$, $\delta_{a,A}$, $\psi_i$ 間の関係を一様に記述すること。

提案手法

• 関係式が $g$ および $n$ に依存する明示的な関係を満たす、タウトロジカルクラス $\lambda$, $\delta_{\text{irr}}$, $\delta_{a,A}$, $\psi_i$ で生成されるアーベル群 $\Lambda_{g,n}$ を定義すること。
• 生成子を対応するラインバンドルに送る標準的同型射 $\overline{P}_{g,n}: \Lambda_{g,n} \to \operatorname{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ を構成すること。
• 基底変換により $S$ に引き戻し、$\overline{\phi}^*$ を通じて $\overline{P}_{g,n}(S)$ 及びその相対版 $\overline{P}_{g,n}^{\text{rel}}(S)$ を得ること。
• fppf 契約化に移行して、群スキームの同型射 $\Phi^S_{g,n}: \underline{\Lambda_{g,n}}_S \to \mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$ を得る。これは群スキームの準同型射である。
• $S$ が $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[1/2]$ 上にあるか $g \leq 5$ の場合に、$\Phi^S_{g,n}$ が同型であることを、形式的変形理論および形式群の性質を用いて証明すること。
• 形式的 GAGA およびラインバンドルの持ち上げに関する障害理論を用いて、必要な場合の平坦性およびピカール函手の代表可能性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、群スキームとしての標準的同型射 $\Phi^S_{g,n}: \underline{\Lambda_{g,n}}_S \to \mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$ が同型となるか？
• RQ2 特徴が 2 でないか $g \leq 5$ である体 $k$ に対して、$\operatorname{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k)$ の構造は何か？
• RQ3 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k$ のピカール群におけるタウトロジカルラインバンドル $\lambda$, $\delta_{a,A}$, $\psi_i$ 間の定義関係は何か？
• RQ4 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S \to S$ の相対ピカール函手は、定数群スキーム $\underline{\Lambda_{g,n}}_S$ とどのように関係するか？
• RQ5 滑らかな点付き曲線の開部分スタック $\mathcal{M}_{g,n}^k$ のピカール群は、$\lambda$ と $\psi_1, \dots, \psi_n$ で生成されるか？それらの間の関係は何か？

主な発見

• 底スキーム $S$ が $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[1/2]$ 上にあるか $g \leq 5$ の場合、標準的同型射 $\Phi^S_{g,n}: \underline{\Lambda_{g,n}}_S \to \mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$ は群スキームとしての同型であり、ピカール群スキームの完全な記述が得られる。
• 任意の体 $k$ に対して、$\text{char}(k) \neq 2$ または $g \leq 5$ のとき、ピカール群 $\operatorname{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k)$ は有限ランクの自由アーベル群であり、(1.0.1) に示される関係を満たすタウトロジカルクラスによって生成される。
• $\mathcal{M}_{g,n}^k$ の開部分スタックのピカール群 $\operatorname{Pic}(\mathcal{M}_{g,n}^k)$ は、$\lambda$ および $\psi_1, \dots, \psi_n$ で生成され、関係は以下の通り：$g=2$ のとき $10\lambda = 0$、$g=1$ のとき $12\lambda = 0$ かつ $\lambda = \psi_1 = \cdots = \psi_n$、$g=0$ のときすべて 0。
• 群スキーム $\mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$ は、同じ条件下で代表可能であり、定数群スキーム $\underline{\Lambda_{g,n}}_S$ に同型である。
• 証明は形式的変形理論、形式的 GAGA、および形式スキーム上のラインバンドルの持ち上げに関する障害理論に依拠しており、特に $\mathbb{G}_m$ の完成とコホホロジー的平坦性を用いている。
• この結果は、Fulton や Olsson による $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ に関する先行研究を一般化し、楕円曲線のケースを超えて、すべての $g,n$ に対して弱い仮定の下で拡張されている。