[論文レビュー] Rational points on solvable curves over $\mathbb{Q}$ via non-abelian Chabauty

Jordan S. Ellenberg, Daniel Rayor Hast|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ℚ 上の CM モジュライを持つ曲線の可解被覆に、Kim の非アーベル Chabauty 法を拡張し、幾何的にこのような曲線を支配する ℚ 上の任意の滑らかで射影的な曲線が有限個の有理点を持つことを証明する。主な結果は、すべての超楕円曲線がこの方法により ℚ 上で有限個の有理点を持つことの一般化であり、CM モジュライを持つ曲線に関する以前の結果を拡張する。

ABSTRACT

We study the Selmer varieties of smooth projective curves of genus at least two defined over $\mathbb{Q}$ which geometrically dominate a curve with CM Jacobian. We extend a result of Coates and Kim to show that Kim's non-abelian Chabauty method applies to such a curve. By combining this with results of Bogomolov-Tschinkel and Poonen on unramified correspondences, we deduce that any cover of $\mathbf{P}^1$ with solvable Galois group, and in particular any superelliptic curve over $\mathbb{Q}$, has only finitely many rational points over $\mathbb{Q}$.

研究の動機と目的

• ℚ 上の CM モジュライを持つ曲線に関する Coates と Kim の結果を、より広いクラスの曲線へ一般化すること。
• 有限ガロア被覆を介して CM モジュライを持つ曲線を幾何的に支配する曲線に対し、非アーベル Chabauty 法が適用可能であることを確立すること。
• 非アーベル Chabauty 法を用いて、ℚ 上の超楕円曲線における有理点の有限性を証明すること。
• 非アーベル Chabauty 法の適用範囲を拡大するために、非分岐対応およびエタール被覆と結びつけること。
• ℚ 上で可解ガロア群をもつ曲線における有理点の有限性を証明するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 有限ガロア拡大 K/ℚ 上の曲線 X への曲線 Y からの支配的写像に関連する相対セレール多様体を定義する。
• ユニポテンツ・アーベルセ図法および p-進 Coleman 関数を用いて、セレール多様体の次元を分析する。
• 古典的 Chabauty 条件に類似した相対セレール多様体における次元仮説を満たすことで、非アーベル Chabauty 法を適用する。
• スカラーの制限を用いて、Y の有理点を ℚ への X の基底変換の有理点に関連付ける。
• X のヤコビアンが CM を持つことにより、Coates–Kim の定理により次元仮説が満たされることを保証する。
• Bogomolov–Tschinkel および Poonen の非分岐対応に関する結果を組み合わせることで、超楕円曲線を含む多くの曲線が、CM モジュライを持つ曲線をエタール被覆を介して支配することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kim の非アーベル Chabauty 法は、自身のヤコビアンが CM でないにせよ、CM モジュライを持つ曲線を幾何的に支配する曲線に対しても拡張可能か？
• RQ2 非アーベル Chabauty 法は、以前の結果ではカバーされていない ℚ 上の超楕円曲線に適用可能か？
• RQ3 可解ガロア群をもつ曲線における有理点の有限性は、Faltings の定理ではなく非アーベル Chabauty を用いて確立可能か？
• RQ4 非分岐対応およびエタール被覆は、非アーベル Chabauty 法の適用範囲を拡大するために果たす役割は何か？
• RQ5 有限ガロア被覆を介して CM モジュライを持つ曲線を支配する ℚ 上のすべての曲線について、有理点の有限性を証明することは可能か？

主な発見

• 非アーベル Chabauty 法は、有限ガロア拡大 K/ℚ 上の曲線 X に CM モジュライを持つ場合、X への支配的写像をもつ ℚ 上の滑らかで射影的な曲線 Y に対して適用可能である。
• これらの条件下で、相対セレール多様体の次元仮説が満たされ、Y の有理点が有限であることが示される。
• genus が 2 以上の ℚ 上のすべての超楕円曲線は、主定理の条件を満たすため、有限個の有理点を持つ。
• この結果は、Bogomolov–Tschinkel および Poonen の結果を用いて、このような曲線がエタール被覆を介して CM モジュライを持つ曲線を支配することを示すことによって導かれる。
• 潜在的 CM モジュライを持つ曲線 X に対して C ⇒ X を満たす ℚ 上の任意の曲線 C に対しても、この方法は適用可能であり、有限性結果が広いクラスの曲線へ一般化される。
• このアプローチは、有理点の有効な境界や計算アルゴリズムを提供しないが、非アーベル Chabauty を用いた有限性の証明のための新しい構造的条件を確立する。