[論文レビュー] Rational semimodules over the max-plus semiring and geometric approach of discrete event systems

Stéphane Gaubert, Ricardo D. Katz|ArXiv.org|Aug 2, 2002

semigroups and automata theory参考文献 27被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、離散イベントシステムへの幾何的制御理論の拡張を図るために、max-plus半体上の有理半モジュールを導入する。有理半モジュールを、成分ごとの積に関して自由半モジュールの有理部分集合によって生成されるものとして定義することで、著者たちは、ユニオン、インターセクション、射影、直交補空間といった主要な代数的演算についての閉包性を、Presburger算術を用いて証明する。主な貢献は、max-plus線形系における到達可能空間と可観測空間が有理的であることを示し、無限次元制御問題の効果的かつアルゴリズム的な解析を可能にすることにある。

ABSTRACT

We introduce rational semimodules over semirings whose addition is idempotent, like the max-plus semiring, in order to extend the geometric approach of linear control to discrete event systems. We say that a subsemimodule of the free semimodule S^n over a semiring S is rational if it has a generating family that is a rational subset of S^n, S^n being thought of as a monoid under the entrywise product. We show that for various semirings of max-plus type whose elements are integers, rational semimodules are stable under the natural algebraic operations (union, product, direct and inverse image, intersection, projection, etc). We show that the reachable and observable spaces of max-plus linear dynamical systems are rational, and give various examples.

研究の動機と目的

• 従来の有限次元仮定が成立しないmax-plus線形離散イベントシステムに、幾何的制御理論を拡張すること。
• 到達可能性と可観測性の問題に特化して、非有限生成の半モジュールを扱う課題に取り組むこと。
• 有理集合を用いた無限次元部分半モジュールの計算的に効果的な解析フレームワークを構築すること。
• max-plus系における到達可能空間と可観測空間が有理的であることを確立し、アルゴリズム的取り扱いを可能にすること。

提案手法

• 成分ごとの積に関して、$\mathcal{S}^n$ の部分半モジュールとして定義される有理半モジュールを、有理的部分集合によって生成されるものとする。
• idempotent半体上のPresburger算術を用いて、有理的部分集合を一階論理式によって定義可能なものとして特徴付ける。
• 有理半モジュールがユニオン、直和、直接および逆像、インターセクション、射影、直交補空間に関して閉じていることを証明する。
• 有理的部分集合が$\mathbb{Z}^n$ における加法に関して半線形集合であるという事実を活用し、論理的およびアルゴリズム的解析を可能にする。
• 理論をmax-plus線形系に適用し、自動機的構成を用いて到達可能空間と可観測空間が有理的であることを示す。
• 極値点解析と射影の有理性を用いて反例を構築し、構造的仮定の必要性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形系の幾何的制御フレームワークを、半モジュールが非有限生成となり得るmax-plus半体へ拡張することは可能か？
• RQ2 max-plus線形離散イベントシステムにおける到達可能空間と可観測空間は、有理半モジュールであるか？
• RQ3 どのような条件下で、有理半モジュールは射影やインターセクションといった代数的演算に関して閉じているか？
• RQ4 Presburger算術を用いて、idempotent半体上の有理半モジュールの閉包性を証明することは可能か？
• RQ5 到達可能空間が有理的でない自然なmax-plus系のクラスは存在するか？もしそうであるなら、有理的でなくなるのを防ぐ構造的条件は何か？

主な発見

• max-plus線形離散イベントシステムの到達可能空間は、$\mathbb{Z}^n$ の有理的部分集合によって生成されるため、有理半モジュールである。
• max-plus系における可観測同値空間も有理半モジュールであり、幾何的制御フレームワークがこの文脈へ拡張されることを示している。
• 有理半モジュールは、ユニオン、直和、直接および逆像、インターセクション、射影、直交補空間に関して閉じており、Presburger論理を用いた証明によりその性質が裏付けられている。
• 反例により、$\mathbb{R}_{\max}$ 上の有理半モジュールが直接像に関して閉じていないことがあることが示され、特定の半体仮定の必要性が浮き彫りになった。
• $\mathbb{Z}_{\min}^6$ 内の$\mu(\{a_1,a_2\}^*)$ が生成する半モジュールは無理的であり、$\mathbb{Z}_{\min}^3$ への射影に対しても無理的である。非可換な到達可能空間が有理的でない場合があることを示している。
• 有理半モジュールの極値点集合は、特定の条件下でのみ有理的であり、関連関数$\gamma_E(n)$ の成長率分析を用いて、その無理的性を証明できる。