[論文レビュー] Rationality of vertex operator algebras

Chongying Dong, Cuipo Jiang|ArXiv.org|Jul 26, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、単純な頂点演算子代数の合理性に関する基本的基準を確立する：頂点演算子代数 $V$ が有理的であることの必要十分条件は、その Zhu 代数 $A(V)$ が半単純であり、かつすべての不可約適切 $V$-加群が通常加群であることである。著者らは、代数 $A_n(V)$ 及びそれらの双加群の理論を用いてこの結果を証明し、$V_L^+$ が任意の正定値偶数格子 $L$ に対して有理的であることを示す応用を示している。主たる貢献は、$V$ の内部代数的性質に基づいた合理性の完全な特徴付けである。

ABSTRACT

It is shown that a simple vertex operator algebra V is rational if and only if its Zhu algebra A(V) is semisimple and each irreducible admissible V-module is ordinary. A contravariant form on a Verma type admissible V-module is constructed and the radical is exactly the maximal proper submodule. As an application the rationality of V_L^+ for any positive definite even lattice is obtained.

研究の動機と目的

• 単純な頂点演算子代数の有理的性の必要十分条件を確立すること。
• Zhu 代数 $A(V)$ の半単純性が $V$ の有理的性を意味するかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 外部の加群圏の性質ではなく、内部代数的構造に基づいた実用的な有理的性基準を提供すること。
• $V_L^+$ が任意の正定値偶数格子 $L$ に対して有理的であることを証明するための基準を応用すること。
• $A(V)$-理論フレームワークを用いて、不可約適切加群の分類を統一的かつ拡張的に扱うこと。

提案手法

• Zhu 代数 $A(V)$ の一般化である結合代数 $A_n(V)$ を用い、適切加群の最初の $n+1$ 個の順序付きレベルを制御する。
• $A_{n,m}(V)$ 双加群を用いて、適切加群の順序付き成分間の準同型写像を代数的構造と関連付ける。
• 不可約適切 $V$-加群と単純 $A(V)$-加群の間の一対一対応を、それらの底レベルを通じて活用する。
• $A(V)$ が半単純であり、すべての不可約適切加群が通常であることから、すべての適切加群の完全可約性を証明する。
• $V_L^+$ に基準を適用する際には、$ \bar{A}(V_L^+)$ の構造を解析し、理想 $A_H$ で割った商代数 $ \widehat{A}(V_L^+)$ が半単純であることを示す。
• $\widehat{A}(V_L^+)$-加群に対する表現論的議論を用い、重み空間分解と作用素の非退化性により、それらが有限次元不可約加群に分解することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Zhu 代数 $A(V)$ の半単純性は、単純な頂点演算子代数 $V$ の有理的性を意味するか？
• RQ2 すべての不可約適切 $V$-加群が通常であることを保証する条件は何か？
• RQ3 正定値偶数格子 $L$ に対して $V_L^+$ の有理的性は $A(V)$-理論を用いて確立可能か？
• RQ4 一般化された代数 $A_n(V)$ 及びそれらの双加群 $A_{n,m}(V)$ は、加群圏の半単純性の研究をどのように支援するか？
• RQ5 $\widehat{A}(V_L^+)$ の構造は何か？ なぜその代数は半単純なのか？

主な発見

• 単純な頂点演算子代数 $V$ が有理的であることの必要十分条件は、その Zhu 代数 $A(V)$ が半単純であり、かつすべての不可約適切 $V$-加群が通常加群であることである。
• $A(V)$ の半単純性は、不可約適切加群がすべて通常であることと組み合わせると、有理的性の十分条件である。
• $A(V)$ は適切加群の底レベルを制御し、頂点演算子代数表現論における最高重量加群理論を一般化する。
• $\bar{A}(V_L^+)$ から理想 $A_H$ で割って得られる代数 $\widehat{A}(V_L^+)$ は半単純であり、その結果、その加群は完全可約である。
• $\bar{A}(V_L^+)$ の部分代数 $A_H$ は、$[\bar{B}_\alpha]$ で張られる理想であり、$ \mathbb{C}[\widehat{L}/K]/J$ に同型であり、商代数 $\widehat{A}(V_L^+)$ は半単純である。
• その結果、任意の正定値偶数格子 $L$ に対して $V_L^+$ は有理的であることが保証され、主基準を用いて有理的性が確認された。