[論文レビュー] Ravello Lectures on Geometric Calculus - Part I

Jenny Harrison|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間内の単体的k-チェーンの極限として従来の接空間を置き換える座標に依存しないフレームワーク、幾何的微積分（Geometric Calculus）を導入する。このフレームワークは、『自然なノルム』による完備化を通じて、滑らかな多様体、フラクタル、離散構造を統一的に扱う。得られるチェーンレットのバナッハ空間は、ストークスの定理、最小曲面、フラクタル幾何学への応用を含む、より一般化された新しい微積分を可能にする。

ABSTRACT

In these notes we present a new approach to calculus in which more efficient choices of limits are taken at key points of the development. For example, k-dimensional tangent spaces are replaced by representations of simple k-vectors supported in a point as limits of simplicial k-chains in a Banach space (much like Dirac monopoles). This subtle difference has powerful advantages that will be explored. Through these “infinitesimals”, we obtain a coordinate free theory on manifolds that builds upon the Cartan exterior calculus. An infinite array of approximating theories to the calculus of Newton and Lebiniz becomes available and we can now revisit old philosophical questions such as which models are most natural for the continuum or for physics. Within this new theory of Geometric Calculus are found the classical theory on smooth manifolds, as well as three distinct, new extensions. All three can be seen as part of the space of polyhedral chains completed with respect to what the author calls the “natural norm”. The author calls elements of the Banach space obtained upon completion “chainlets”. We take many viewpoints in mathematics and its applications, be it smooth manifolds, Lipschitz structures, polyhedra, fractals, finite elements, soap films, measures, numerical methods, etc. The choice sets the stage and determines our audience and our methods. No particular viewpoint is “right ” for all applications. The Banach space of chainlets unifies these viewpoints. (1) Discrete Calculus ∗ with convergence to the smooth continnuum, including more general theorems of Stokes, Green and Gauss. (2) Bilayer Calculus with applications to the calculus of variations including Plateau’s problem (soap bubbles). (3) Calculus on Fractals Some aspects of this are contained in the paper [10] and slides prepared for the Caltech meeting in October, 2003 on Discrete Geometry for Mechanics are available on line at

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上の従来の座標に基づくアプローチを超える新しい微積分の基礎を構築すること。
• 滑らかな多様体、リプシッツ写像、多面体、フラクタル、有限要素といった多様な幾何的構造を、一つの解析的枠組みで統一すること。
• 多面体チェーンに自然なノルムを導入することで、連続体と物理的モデルに関する基礎的問題を解決すること。
• ストークス、グリーン、ガウスの古典的定理を、滑らかでないおよび非可定向な領域を含むより広い空間のクラスに一般化すること。
• 離散近似や滑らかな連続体への極限を扱える、厳密な無限次元の微積分の設定を提供すること。

提案手法

• ディラックモノポールにインspiredされたバナッハ空間内の単体的k-チェーンの極限として、k次元接空間を表現する。
• 多面体チェーンの空間に『自然なノルム』を定義し、チェーンレットのバナッハ空間への完備化を可能にする。
• チェーンレット上に座標に依存しない外微分法を構築し、カルタンの理論を滑らかでないおよび特異な対象に一般化する。
• 多面体チェーンの自然なノルムによる完備化を用いて、離散的、二層的、フラクタル的微積分の枠組みを統一する。
• 理論を3つの拡張に応用する：離散微積分（滑らかさに収束）、二層微積分（変分問題のため）、フラクタル上の微積分。
• バナッハ空間の構造を活用し、さまざまな幾何的状況で主要な定理を保つように、積分と微分を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラクタルや soaps films のような滑らかでない、特異な幾何的対象における微積分を定義する最も自然な方法は何か？
• RQ2 ストークス、グリーン、ガウスの古典的定理は、滑らかでないおよび非可定向な領域を含むようにどのように一般化できるか？
• RQ3 滑らかな多様体、離散近似、フラクタル幾何学をすべて含む、単一の統一的微積分フレームワークを構築できるか？
• RQ4 多面体チェーンに導入された『自然なノルム』は、幾何的微積分の一貫性のある極限プロセスを定義するために果たす役割は何か？
• RQ5 リプシッツ構造、有限要素、測度といった、異なる幾何的視点はチェーンレット枠組み内でどのように関係するか？

主な発見

• 多面体チェーンの『自然なノルム』による完備化は、チェーンレットのバナッハ空間を生じさせ、多様な幾何的・解析的構造を統一する。
• 理論は、カルタンの枠組みを滑らかでないおよび特異な対象にまで拡張する座標に依存しない外微分法を提供する。
• ストークス、グリーン、ガウスの古典的定理は、滑らかさの古典的仮定が成り立たない状況でも成り立つように一般化される。
• 離散微積分はチェーンレットの極限として現れ、滑らかな連続体への収束と、古典的定理のより一般化された版を提供する。
• 二層微積分は、ソープフィルムのプレートォー問題を含む変分問題を解くための新しい枠組みとして導入される。
• チェーンレット枠組み内では、非整数次元集合上での積分と微分が厳密に定義可能になる。