[論文レビュー] Reachability Analysis of Quantum Markov Decision Processes

Shenggang Ying, Mingsheng Ying|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非決定的かつ並列な量子プログラムのための意味的モデルとして、量子マルコフ決定過程（qMDPs）を導入する。これは、超作用素と測定に基づくスケジューリングを用いて、古典的MDPを量子系へと拡張したものである。有限および無限ホライズンの到達可能性問題の決定可能性と計算量を確立し、最適スケジューラがqMDPsにおいて常に存在するとは限らないことを証明するとともに、すべてのスケジューラにおける到達可能性確率の上界を計算するためのアルゴリズムを提示する。

ABSTRACT

We introduce the notion of quantum Markov decision process (qMDP) as a semantic model of nondeterministic and concurrent quantum programs. It is shown by examples that qMDPs can be used in analysis of quantum algorithms and protocols. We study various reachability problems of qMDPs both for the finite-horizon and for the infinite-horizon. The (un)decidability and complexity of these problems are settled, or their relationships with certain long-standing open problems are clarified. We also develop an algorithm for finding optimal scheduler that attains the supremum reachability probability.

研究の動機と目的

• 並列的かつ非決定的な量子プログラムのための意味的モデルを、量子マルコフ決定過程（qMDPs）を用いて形式化すること。
• qMDPsの到達可能性解析を、有限および無限ホライズンの問題に焦点を当てて調査すること。
• qMDPsにおける到達可能性問題の決定可能性と計算量の複雑性を特定すること。
• すべてのスケジューラにおける到達可能性確率の上界を計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• 古典的MDPとqMDPとの間の違い、特に最適スケジューラの存在に関する違いを明確にすること。

提案手法

• 離散的状態をヒルベルト空間に置き換え、行動を超作用素に置き換えることで、qMDPsを古典的MDPの量子一般化として形式化すること。
• スケジューラを、システムの進化中に得られる測定結果に基づいて行動を選択する関数としてモデル化すること。状態情報に基づくのではなく。
• 与えられたスケジューラ下でのターゲット部分空間Bへの到達確率を定義し、すべてのスケジューラにおける到達可能性確率の上界を定義すること。
• 行列ノルムとスペクトル半径の分析を用いて、特に超作用素の合成の極限に関連する状態の進化の収束を特徴づけること。
• 行列理論の結果、特に連続スペクトル半径とDLS（動的リャプノフ安定性）条件を応用し、長期的挙動を分析すること。
• 到達可能性確率の上界が1であることは、スケジューラの経路に沿った超作用素の合成がノルムで0に収束するときにかつそのときに限り成り立つことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 qMDPsにおける有限ホライズンの到達可能性問題は決定可能か？ その計算量はいかほどか？
• RQ2 与えられた初期状態に対して、到達可能性確率の上界に到達する最適スケジューラは、qMDPsにおいて常に存在するか？
• RQ3 qMDPsにおける無限ホライズンの到達可能性問題の決定可能性状態は何か？
• RQ4 到達可能性と収束の観点から、qMDPsは古典的MDPおよび量子マルコフ連鎖とどのように異なるか？
• RQ5 到達可能性確率の上界は、アルゴリズム的に計算可能か？ そのようなアルゴリズムの計算量はいかほどか？

主な発見

• qMDPsにおける有限ホライズンの到達可能性問題は決定可能であり、多項式時間で解ける。
• 一般には無限ホライズンの到達可能性問題は決定不能であるが、超作用素集合の連続スペクトル半径に関連する特定の条件下では決定可能である。
• 初期状態を固定しても、到達可能性確率の上界に到達するスケジューラが存在しないqMDPsが存在する。これは古典的MDPとは異なり、最適スケジューラが常に存在するとは限らないことを示している。
• 到達可能性確率の上界が1であることは、スケジューラの経路に沿った超作用素の合成がノルムで0に収束するときにかつそのときに限り成り立つ。
• 超作用素集合の連続スペクトル半径が1未塔であるかどうかを判定する問題は、ほぼ確実な到達可能性を確認する問題に等しく、DLS条件を用いることで決定可能である。
• 繰り返し適用される超作用素の極限挙動を分析することで、到達可能性確率の上界を計算するためのアルゴリズムを開発した。