[論文レビュー] Reachability of Black-Box Nonlinear Systems after Koopman Operator Linearization

Stanley Bak, Sergiy Bogomolov+3 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 47被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形系をコープマン作用素線形化によって変換した場合の到達可能性解析のための最初のアルゴリズムを提案する。この手法は、非線形ダイナミクスを高次元線形系にマッピングするが、非線形初期状態制約を伴う。ゾノトープ過近似、区間演算、および抽象化・精錬技術（ハイパープランのバックプロパゲーションおよびゾノトープドメインスプリット）を組み合わせることで、ブラックボックス系のスケーラブルな検証が可能となり、多数のベンチマークで既存ツールを上回る性能を示した。

ABSTRACT

Reachability analysis of nonlinear dynamical systems is a challenging and computationally expensive task. Computing the reachable states for linear systems, in contrast, can often be done efficiently in high dimensions. In this paper, we explore verification methods that leverage a connection between these two classes of systems based on the concept of the Koopman operator. The Koopman operator links the behaviors of a nonlinear system to a linear system embedded in a higher dimensional space, with an additional set of so-called observable variables. Although, the new dynamical system has linear differential equations, the set of initial states is defined with nonlinear constraints. For this reason, existing approaches for linear systems reachability cannot be used directly. In this paper, we propose the first reachability algorithm that deals with this unexplored type of reachability problem. Our evaluation examines several optimizations, and shows the proposed workflow is a promising avenue for verifying behaviors of nonlinear systems.

研究の動機と目的

• サイバーフィジカルシステムの形式的検証におけるボトルネックである、非線形力学的システムにおける到達可能性解析の課題に取り組むこと。
• データ駆動型コープマン作用素線形化を活用して、非線形ダイナミクスを高次元線形系に変換することで、ブラックボックス非線形系の検証を可能にすること。
• コープマンベースの解析における主要な障害要因である、線形力学系における初期状態集合の非線形制約を扱える、新たな到達可能性アルゴリズムを開発すること。
• コープマンフレームワークに特化した過近似および抽象化・精錬技術を用いて、到達可能性解析の効率性とスケーラビリティを向上させること。
• 提案手法をベンチマーク非線形系に対して評価し、既存の成熟した到達可能性ツールと性能を比較すること。

提案手法

• 本手法は、非線形系を高次元空間に埋め込み、観測可能な変数が元の状態の非線形関数となるような線形微分方程式系を構築することで、コープマン作用素線形化を用いる。
• 初期状態集合は、元の空間における凸ポリトープなどの非線形制約として表現され、区間演算を用いて構築されたゾノトープによる過近似によって、効率的な線形到達可能性計算を可能にする。
• 直接符号号化アルゴリズムは、非線形SMTソルバーを用いて初期状態制約を強制するが、これは正しさの基準として機能するが、計算が遅く、決定不能である可能性がある。
• 2つの抽象化・精錬技術を導入する：ハイパープランのバックプロパゲーションは、制約をコープマン系を逆方向に伝搬させることで過近似を精錬する。ゾノトープドメインスプリットは、過近似の保守性を低下させるために、再帰的にゾノトープの過近似を分割する。
• 本手法は、スケーラブルな線形到達可能性解析と非線形制約の取り扱いを組み合わせ、入力-出力データのみが利用可能なブラックボックス系の検証を可能にする。
• フレームワークは、ベンチマーク非線形系におけるフローパイプ計算を用いて評価され、到達可能性時間と過近似の質を指標として性能を測定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コープマン作用素線形化を用いることで、非線形初期状態制約を伴うブラックボックス非線形系のスケーラブルな到達可能性解析が可能になるか？
• RQ2 既存の線形到達可能性アルゴリズムは、コープマン線形化に起因する非線形初期集合をどのように扱えるか？
• RQ3 コープマンベースの到達可能性解析における保守性を低減し、性能を向上させるために効果的な過近似および抽象化・精錬戦略は何か？
• RQ4 標準的な非線形ベンチマークにおいて、提案手法は既存の成熟した到達可能性ツールと比較して、性能と正確性の面で優れているか？
• RQ5 データ駆動型コープマンモデルは、微分方程式が既知でない系の検証を可能にするか？

主な発見

• 提案手法は、非線形初期制約を伴うコープマン線形化系の到達集合を効果的に計算でき、かつて未解決であったこの到達可能性問題に対する最初の既知の解決策を達成した。
• ロッシェル系では、ベースラインSMTの181.06秒から最適化を施した9.53秒にまで到達可能性時間を短縮し、19倍の高速化を達成した。
• チエン系では、最良の最適化設定で285.20秒から18.52秒にまで短縮され、10倍の高速化を達成し、強力なスケーラビリティを示した。
• ゾノトープドメインスプリットおよびハイパープランのバックプロパゲーション技術は、すべてのベンチマークで過近似誤差を顕著に低減し、実行時間の効率性を向上させた。
• 多数のシステムで成熟した到達可能性ツールを上回る性能を示し、実世界のサイバーフィジカルシステム検証における実用的妥当性を示した。
• 本手法は、微分方程式が既知でない系に対しても、データ駆動型コープマンモデルに依存するだけで検証が可能であるため、微分方程式が既知の系に限らない到達可能性解析の拡張を可能にした。