[論文レビュー] Real analyticity of Hausdorff dimension for expanding rational semigroups

Hiroki Sumi, Mariusz Urbański|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、リーマン球面上の解析的家族としての拡張的有理関数半群のジュリア集合のハウスドルフ次元の実解析的および擬・シュレーディンガー性を確立する。熱力学的形式主義とカトウ＝レリッヒの摂動理論を圧力関数およびボウイングの公式に適用することで、開集合条件の下で、ハウスドルフ次元がパラメータに関して実解析的関数であることを証明し、2未満または2より大きい例を明示的に示している。

ABSTRACT

We consider the dynamics of expanding semigroups generated by finitely many rational maps on the Riemann sphere. We show that for an analytic family of such semigroups, the Bowen parameter function is real-analytic and plurisubharmonic. Combining this with a result obtained by the first author, we show that if for each semigroup of such an analytic family of expanding semigroups satisfies the open set condition, then the function of the Hausdorff dimension of the Julia set is real-analytic and plurisubharmonic. Moreover, we provide an extensive collection of classes of examples of analytic families of semigroups satisfying all the above conditions and we analyze in detail the corresponding Bowen's parameters and Hausdorff dimension function.

研究の動機と目的

• 解析的家族としての拡張的有理関数半群のジュリア集合のハウスドルフ次元の実解析的性質を確立すること。
• 開集合条件がなくても、ボウイングパラメータ関数が実解析的かつ擬・シュレーディンガーであることを示すこと。
• 開集合条件の下で、ハウスドルフ次元がパラメータに関して実解析的かつ擬・シュレーディンガー関数であることを示すこと。
• ハウスドルフ次元が2未満または2より大きい明示的な例を提示すること。
• 摂動理論を用いて圧力関数とそのパラメータ依存性を分析すること。

提案手法

• 圧力関数とボウイングのパラメータを圧力関数のゼロ点として定義するために、熱力学的形式主義と圧力関数を用いる。
• カトウ＝レリッヒの摂動理論を用いて、複素パラメータにおける圧力関数の実解析的性質を証明する。
• 陰関数定理を用いてボウイングパラメータ関数の実解析的性質を導出する。
• 開集合条件の下で、ボウイングパラメータとハウスドルフ次元との関係をボウイングの公式を用いて確立する。
• 正則家族におけるペロン＝フロベニウス型作用素を用いてスペクトル性質を研究する。
• スケアプロダクト力学系および構造的安定性の結果を応用して、拡張性および開集合条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的家族における拡張的有理関数半群のジュリア集合のハウスドルフ次元は、パラメータに関して実解析的関数か？
• RQ2 ボウイングパラメータ関数が実解析的かつ擬・シュレーディンガー関数であるための条件は何か？
• RQ3 解析的家族における拡張的有理関数半群のジュリア集合のハウスドルフ次元は、2を超えることがあるか？
• RQ4 ハウスドルフ次元が2未満となる十分条件は何か？
• RQ5 開集合条件は、ハウスドルフ次元関数の解析的性質およびその値にどのように影響するか？

主な発見

• 開集合条件が成立するとき、ジュリア集合のハウスドルフ次元はパラメータに関して実解析的かつ擬・シュレーディンガー関数である。
• 開集合条件がなくても、ボウイングパラメータ関数は実解析的かつ擬・シュレーディンガー関数である。
• ハウスドルフ次元が2未満となる解析的家族が存在する。例えば、多項式生成子 z^{d_j} に対して ∑1/d_j < 1 が成り立つ場合。
• ハウスドルフ次元が2を超える解析的家族が存在する。例えば、生成子が z^m で、その数が s 個あり、s > m となる場合。
• z^{d_j} の近傍における一般の家族では、∑1/d_j < 1 ならば、ある開集合上でハウスドルフ次元は2未満である。
• i ≠ j に対して m_2(g_i^{-1}(J(G)) ∩ g_j^{-1}(J(G))) > 0 ならば、δ(g) > 2 であり、これは近傍でも成立する。