[論文レビュー] Real Polynomial Rings and Domain Invariance

Jon A. Sjogren|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ブローウェルの領域不変性定理に中心を置く位相的方法を用いて代数学の基本定理を証明する。実代数を生成する既約多項式に基づく平方化により、実射影空間 ℝPⁿ⁻¹ から球面 𝕊ⁿ⁻¹ への連続的かつ単射な写像を構成することで、このような写像がホメオモーフィズムであるためには n ≤ 2 でなければならないことを示し、既約な実多項式の次数が2以下でなければならないことを証明する。

ABSTRACT

Recent proofs of classical theorems in polynomial algebra and functional analysis are discussed, which use tools from the topology of real manifolds. Simpler proofs were discovered in the new century, of the Hilbert Nullstellensatz, and the Gelfand-Mazur Theorem. We give a related proof that an irreducible real polynomial has degree 2 or less, Gauss's form of the Fundamental Theorem of Algebra. It has been debated whether an elementary proof for FTA can be found, using the Brouwer Fixed-Point Theorem as its "analytical" component. In the present case the analytic or topological tool employed is Brouwer's Theorem on Invariance of Domain, which derives from his Fixed-Point Theorem. A corollary of Domain Invariance is that an injective mapping of one compact manifold to another (connected) one of the same dimension, is in fact surjective and a homeomorphism. The desired result (FTA) comes from the fact that a real sphere and its (quotient) projective space of the same dimension are homeomorphic only when this dimension equals 1. This proof joins a class of proofs that depend on Euclidean fixed-point theory, and also the class of proofs that involve no field extensions or methods of complex analysis.

研究の動機と目的

• 代数的トポロジーの道具を用いて、代数学の基本定理の位相的証明を提供すること。
• 関連する代数の位相的構造を分析することで、既約な実多項式が次数 ≤ 2 でなければならないことを示すこと。
• 実多項式剰余環の代数的構造とホモトピーおよび連結性などの位相的不変量との間の関係を確立すること。
• 次数 n ≥ 3 の既約な実多項式の存在が、領域不変性定理を介して位相的矛盾を引き起こすことを示すこと。

提案手法

• 次数 n の既約な実多項式 p(x) に対して剰余環 𝒪 = ℝ[x]/(p(x)) を構成し、零因子を持たない実代数を形成する。
• 𝒪 上で平方写像 f(a) = a∘a を定義し、それを正規化して連続写像 ψ: 𝕊ⁿ⁻¹ → 𝕊ⁿ⁻¹ を得る。
• ψ(y) = ψ(−y) の対称性を活用して、̂ψ: ℝPⁿ⁻¹ → 𝕊ⁿ⁻¹ への上へ持ち上げを行う。これは反対称同値を尊重する。
• ̂ψ が連続的かつ単射であり、コンパクトハウスドルフ空間間の写像であることから、その像へのホメオモーフィズムであることを証明する。
• ブローウェルの領域不変性定理を適用し、̂ψ の像が 𝕊ⁿ⁻¹ 内で開かつ閉であることを示し、n > 1 のとき 𝕊ⁿ⁻¹ が連結であることから、全射であることを導く。
• 普遍被覆を介して ℝPⁿ⁻¹ に非可縮小ループを構成することで矛盾を導く。このループは、固定端点のホモトピーに引き上げられなければならないが、n > 2 のとき 𝕊ⁿ⁻¹ のループは可縮可能であるため、矛盾が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数学の基本定理は、純粋に代数的または解析的手段ではなく、位相的方法を用いて証明可能か？
• RQ2 次数 n ≥ 3 の既約な実多項式の存在を仮定すると、どのような位相的制約が生じるか？
• RQ3 多項式から導かれる実代数における平方写像が、球面および射影空間の間の連続写像をどのように誘導するか？
• RQ4 領域不変性定理は、より高次の既約な実多項式の存在をどのように妨げるか？
• RQ5 なぜ n > 2 のとき、実射影空間 ℝPⁿ⁻¹ は球面 𝕊ⁿ⁻¹ とホメオモーフィックでないのか？この性質は多項式の既約性とどのように関係するか？

主な発見

• 既約な実多項式の次数は2以下でなければならない。それ以上の次数では位相的矛盾が生じる。
• 多項式から導かれる代数における平方化によって誘導される写像 ̂ψ: ℝPⁿ⁻¹ → 𝕊ⁿ⁻¹ は、n ≤ 2 である場合に限りホメオモーフィズムである。
• n > 2 のとき、極を結ぶループが可縮可能でないにもかかわらず、球面は単連結であるため、そのループの上への引き上げが固定端点を保つホモトピーとして存在しないという矛盾が生じる。
• 領域不変性定理は、像が開かつ閉であり、したがって連結な目標空間では全射であることを証明するために不可欠である。
• 証明は、普遍被覆の特徴である一意的パス上昇性と、𝕊ⁿ⁻¹ の反対称点が ℝPⁿ⁻¹ で同じ点に射影されることに依存している。
• 矛盾は、極を結ぶループが、普遍被覆の下で固定端点を保つホモトピーに引き上げられなければならないが、そのようなホモトピーが存在しないことから生じる。